Ejemplo de espacio lineal normado con secuencia acotada en el dual que no tiene subsecuencia convergente débil*.

Question

Si $X$ es un espacio lineal normado separable, entonces sabemos que toda secuencia acotada en $X^*$ tiene una subsecuencia convergente débil-* . ¿Podemos eliminar la condición de separabilidad, es decir, si no asumimos $X$ es separable, ¿existen entonces contraejemplos?

Por favor, ayuda. Gracias de antemano

Answer 1

Toma $X=l^\infty$ que no es separable. Definir la secuencia $f_n$ en $(l^\infty)^*$ por $$ f_n (x) = x_n. $$ Entonces $(f_n)$ es una secuencia acotada, de hecho, $\|f_n\|_{(l^\infty)^*}=1$ .

Sin embargo, no tiene una subsecuencia convergente de estrella débil. Sea $(f_{n_k})$ denotan una subsecuencia. Entonces definamos $x\in l^\infty$ por $$ x_{n_k}=(-1)^k, $$ fijar todas las demás entradas $x_i=0$ . Entonces $$ f_{n_k}(x) = (-1)^k, $$ que no es convergente.