Necesito demostrar que, para la función $f(x) = x^2 (e^{1/x}-1) - x^2/(x+1)$ Hay un poco de $x_0 > 0$ tal que $f(x)$ es decreciente en $(0,x_0)$ y aumentando en $(x_0,\infty)$ .
Al establecer $f'(x) = 0$ Puedo ver que $f(x)$ es decreciente en $(0,1/2)$ y tomando la expansión en serie de $f(x)$ en $\infty$ me dice que $f(x) \to 3/2$ como $x \to \infty$ pero esto no es suficiente. El problema se reduce a la pregunta del título.
Parece que no puedo hacer que entregue la mercancía.
Podría simplificar bastante el problema, pero he dejado un problema más sencillo para que lo resuelvas tú. Tenemos
$$f(x) = \left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) x^2-\frac{x^2}{x+1}$$
usando algo de álgebra básica puedes factorizar su derivada a:
$$f'(x) = \frac{2 e^{\frac{1}{x}} x^3-2 x^3+3 e^{\frac{1}{x}} x^2-5 x^2-4 x-e^{\frac{1}{x}}}{(x+1)^2}$$
Así que lo que queda por demostrar es que
$$h(x)= e^{\frac{1}{x}} x^3-2 x^3+3 e^{\frac{1}{x}} x^2-5 x^2-4 x-e^{\frac{1}{x}}$$
tiene exactamente una raíz real en $(0, \infty)$ pero esto no es difícil porque si miramos la gráfica de h vemos que
Y por lo tanto asumir que $$h'(x)=(x+1) \left(e^{\frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x^2}+6 x-\frac{1}{x}-2\right)-6 x-4\right)>0$$
Donde también se puede utilizar la notación
$$h'(t)=h'(1/x)=\frac{(t+1) \left(-4 t+e^t ((t-2) t (t+1)+6)-6\right)}{t^2}$$
Así que queda de nuevo por demostrar que
$$ (t+1) \left(t^3-t^2-2 t+6\right) e^t\geq 2 \left(2 t^2+5 t+3\right) $$
Entonces hemos terminado si aplicamos el teorema del valor medio. Debería ser posible demostrarlo.
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