Es $B=(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)$ una base de $R^3$ ?

Question

Es $B=\{(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)\}$ una base de $\mathbb R^3$ ?

Dudo que este vector abarque $\mathbb R^3$ por ejemplo: ¿cómo será el vector $(2,0,0)$ estar en el lapso de $B$ ?

Soy un principiante, acabo de terminar de estudiar las bases. Esta duda puede ser muy básica, traté de encontrar en internet pero no pude entender mucho. Buscaba alguna explicación lúcida. Gracias.

Answer 1

Cuando tienes $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ y abarcan el espacio si y sólo si son linealmente independientes. Cuando se tienen menos de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ nunca abarcarán el espacio, y cuando tengas más de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ abarcarán el espacio si hay un subconjunto de tamaño $n$ que es linealmente independiente. Una base es un conjunto que también es linealmente independiente, lo que sólo puede ocurrir cuando el número de vectores es igual a la dimensión del espacio.

Puedes usar cualquier técnica que quieras para ver que estos vectores son realmente independientes linealmente (la reducción de filas es popular). Como son linealmente independientes y la dimensión del espacio de vectores es igual al número de vectores, forman una base.

Para la pregunta específica sobre $(2,0,0)$ vemos que $$(2,0,0)=(1,1,0)+(1,0,1)-(0,1,1)$$ Esto se puede encontrar resolviendo la ecuación $$(2,0,0)=a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)$$ Aunque esto parece una ecuación con tres incógnitas, podemos descomponerla en tres ecuaciones mirando cada coordenada por separado, como $2=a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 0$ . Una vez que hayas descompuesto esto en un sistema de ecuaciones, puedes resolverlo mediante tu técnica favorita.

Answer 2

Sí, porque para la arbitrariedad $(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^3$ tenemos $(a_1,a_2,a_3)=\frac{a_1+a_2-a_3}{2}(1,1,0)+\frac{a_1+a_3-a_2}{2}(1,0,1)+\frac{a_2+a_3-a_1}{2}(0,1,1)$ . Los coeficientes se pueden conseguir fijando $(a_1,a_2,a_3)=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)$ y resolver $(x,y,z)$ en términos de $(a_1, a_2, a_3)$ .

Answer 3

$B=\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ es una base para $\Bbb R^3$ .

Para comprobarlo, $\forall (x,y,z)\in \Bbb R^3$ debe ser cierto que $\exists\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}\subset \Bbb R$ tal que $$(x,y,z)=\alpha_1 (1,1,0)+\alpha_2 (1,0,1)+\alpha_3 (0,1,1)$$ Resolviendo un sistema de ecuaciones encontrarás que $$\alpha_1=\frac{x+y-z}{2},\ \ \alpha_2=\frac{x-y+z}{2},\ \ \alpha_3=\frac{y-x+z}{2}$$ hará el truco. Por ejemplo, cuando $(x,y,z)=(2,0,0)$ Utilizar $\alpha_1=1$ , $\alpha_2=1$ y $\alpha_3=-1$ .

No es posible demostrar que un conjunto de vectores, como B, es una base para $\Bbb R^3$ sólo comprobar si abarcan una instancia particular de $\Bbb R^3$ como por ejemplo $(2,0,0)$ este conjunto debe abarcar todos los vectores de $\Bbb R^3$ .