¿Por qué una función de onda plana puede verse como un haz y no como una sola partícula?

Question

Mi profesor me dice que la siguiente función de onda no puede ser normalizada, por lo tanto no representa una partícula.

$\psi(x) = Ae^{ikx}$

Sin embargo, continúa diciendo que la función de onda puede ser considerada como un haz de partículas mediante el uso de series de Fourier, sin embargo, no entiendo cómo esto es posible y me preguntaba si alguien podría proporcionar tal vez alguna prueba de tipo?

Answer 1

Hay una discusión bastante buena sobre el caso de las partículas libres aquí . Asumo que ha demostrado que $\psi$ no es normalizable.

¿Por qué $\psi$ ¿que no sea normalizable significa que no puede representar una partícula? Bueno, esto representa una onda plana con amplitud constante en todas partes (sólo cambia la fase). Como la amplitud de la función de onda te habla de la probabilidad de encontrar una partícula en un lugar determinado, puedes pensar que esto implica que la partícula tiene la misma probabilidad de estar en cualquier lugar del universo, lo cual no se corresponde realmente con nuestra idea de partícula. En términos puramente matemáticos, solemos limitar nuestra atención a las soluciones de la ecuación de Schrödinger que son integrables al cuadrado, lo que no ocurre con esta solución. Esto significa que esta solución no forma parte de nuestro espacio de Hilbert. ¿Por qué ocurre esto? Obsérvese que $\psi$ tiene un único $k$ -que corresponde al impulso. Por lo tanto, tiene un momento infinitamente agudo (su momento es exactamente $k$ ) y, por lo tanto, una posición infinitamente desviada por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Sin embargo, ¡eso no significa que esta solución no sea importante! La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal, por lo que se cumple el principio de superposición. Esto significa que si $\psi_1$ satisface la ecuación de Schrödinger y $\psi_2$ satisface la ecuación de Schrödinger, entonces $\psi_1 + \psi_2$ se también ¡satisfacen la ecuación de Schrödinger!

¿Por qué es importante? Bueno, podemos construir soluciones normalizables tomando combinaciones lineales de partículas libres, los llamados paquetes de ondas. Tomemos alguna función $f(k)$ que describe cómo fluctúan nuestras amplitudes en $k$ . Esto corresponde a la toma de múltiples componentes del impulso, por ejemplo, introduciendo cierta "dispersión" en el valor del impulso. A continuación, formar una superposición lineal como: $$ \psi_3(x) = A\int_{-\infty}^{\infty} dk\ f(k) e^{ikx} $$ Esto se llama solución de paquete de ondas. Nótese que se trata de una solución de la ecuación de Schrödinger, por linealidad (piense en la integral como una suma infinita). Sin embargo, para elecciones adecuadas de $f(k)$ , $\psi_3$ ¡se puede convertir en normalizable! Esencialmente, estás sumando múltiples partículas de diferente momento $k$ que es lo que tu profesor entiende por un "haz" de partículas. Si quieres pensarlo en términos físicos, entonces estamos haciendo que la función de onda esté menos localizada en el momento, y por lo tanto logramos más localización en la posición.

¿Cómo se relaciona esto con las series de Fourier? Pues bien, hay que tener en cuenta que $\psi_3(x)$ anterior no es (hasta factores constantes) más que la tranformación de Fourier de la función $f(k)$ . Esto es útil una vez que se resuelve la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, ya que la solución de la partícula libre tiene la evolución temporal más simple posible, y cualquier estado inicial razonable del sistema puede transformarse en Fourier. Así, una forma de obtener la evolución temporal en la mecánica cuántica es transformar de Fourier la función de onda inicial y añadir la evolución temporal. Esto es equivalente al método de separación de variables para resolver las EDP.

Hay otras opciones para arreglar la solución de las partículas libres, por supuesto. Una de ellas es exigir que el sistema viva en alguna caja finita (arbitrariamente grande). Entonces la solución es normalizable y vive en un espacio de Hilbert. Esta es una solución interesante, porque conduce claramente a problemas con la relatividad si la caja es lo suficientemente grande. Este y otros problemas relacionados fueron los que condujeron al desarrollo de la mecánica cuántica relativista y, finalmente, a la teoría cuántica de campos.