$| \dfrac{-z+\sqrt{z^2-4}}{2}|\le 1$

Question

Supongamos que $z=u+iv$ avec $v>0$ .

$$ m(z)=\dfrac{-z+\sqrt{z^2-4}}{2}$$ satisface la ecuación $$m(z)+1/m(z)+z=0 $$ a partir de la cual descubrimos que $$|m(z)|=|m(z)+z|^{-1} $$

Tomar la rama de la raíz cuadrada para que la parte imaginaria de $m(z)$ es positivo.

( $m(z) $ aquí está la Transformación de Stieljes de la Ley del Semicírculo)

¿Cómo mostramos $$|m(z)|\le 1 $$ o de forma equivalente $$|m(z)+z|\ge 1 $$

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Como señala Conrad en el comentario, $$|m(z)(z+m(z))|=1 $$ Si podemos mostrar $m(z)$ es el menor de los dos en norma, entonces hemos terminado.

Observando que $$v>0,\qquad m(z)=\dfrac{-z+\sqrt{z^2-4}}{2},\qquad m(z)+z= \dfrac{z+\sqrt{z^2-4}}{2}$$

tenemos $$Im[m(z)+z] >Im[m(z)] $$ ¿pero qué hay de la parte real?

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como se muestra en las primeras líneas de la solución aceptada, por las restricciones que tenemos en la parte imaginaria de $z$ y $m(z)$ . tenemos que la parte real e imaginaria de $$z$$ y $$\sqrt{z^2-4}$$ son de la del signo. Con esto podemos concluir que $$|m(z)+z|\ge |m(z)| $$

Answer 1

Dejemos que $z=a+ib,\sqrt{z^2-r^2}=c+id$ donde $a,b,c,d$ son reales y $r>0$

$$r^2=z^2-(z^2-r^2)=(a+ib)^2-(c+id)^2=a^2+d^2-b^2-c^2+2i(ab-cd)$$

Igualando las partes imaginarias, $ab-cd=0\implies\dfrac ac=\dfrac db=k$ (decir)

$\implies a=ck,d=bk$

Equiparar las partes reales, $$r^2=a^2+d^2-b^2-c^2=(b^2+c^2)(k^2-1)$$

$\implies k^2-1=\dfrac{r^2}{b^2+c^2}>0$

$\implies$ o bien $k>1$ o $k<-1$

$$|-z+\sqrt{z^2-r^2}|^2=|c+id-(a+ib)|^2=(c-a)^2+(d-b)^2=(b^2+c^2)(1-k)^2$$

$$=\dfrac{r^2(1-k)^2}{(k^2-1)}=\dfrac{r^2(k-1)}{k+1}$$ que será $\le r^2$

$\iff\dfrac{k-1}{k+1}\le1\iff0\ge\dfrac{k-1}{k+1}-1=-\dfrac2{k+1}$ $\iff 0\le\dfrac2{k+1}\iff k+1>0\iff k>-1$

Por lo tanto, la proposición será anulada si $k<-1$

Answer 2

Vamos a escribir $m_1,m_2$ las 2 raíces de la ecuación $m^2+zm+1=0$ donde $\Im m_1 \ge 0$ así que $m_1=m(z)$ en la notación del puesto.

Sabemos que $m_1=re^{i\theta}, 0 \le \theta \le \pi$ Así que $\sin \theta \ge 0$ mientras que entonces $m_2=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$ Así que $0>-\Im z =\Im (m_1+m_2)=(r-\frac{1}{r})\sin \theta$ por lo que $r-\frac{1}{r} \le 0$ ¡y hemos terminado!