Cada teorema es tan poderoso como sus supuestos (y proposiciones). Las respuestas son claramente que
- La fórmula LSZ siempre funciona para las teorías de campo en las que se utiliza.
- Ningún cálculo real relevante para la física falla por el teorema de Haag. El teorema de Haag es sólo una filosofía.
El teorema de Haag es moralmente incorrecto porque estudia la cuestión de si los operadores de la teoría interactiva son "estrictamente" equivalentes unitariamente a los de la teoría libre: $$O_\mathrm{interacting} = U O_\mathrm{free} U^{-1}$$ No es de extrañar que Haag descubra que esa equivalencia unitaria no existe. Esto no es sorprendente porque, como sabemos, los operadores adquieren dimensiones anómalas a partir de las interacciones (y los efectos cuánticos), entre otras desviaciones de la intuición clásica, y el álgebra ingenua que es válida en la teoría libre simplemente ya no se aplica a la teoría que interactúa.
En particular, la adición de las interacciones también modifica las relaciones de conmutación entre los campos que crean y aniquilan "directamente" las partículas, al menos los campos efectivos de baja energía. Por ejemplo, los efectos cuánticos producen Lagrangianos efectivos que contienen términos con derivadas superiores, incluyendo nuevos términos con derivadas temporales, y estos últimos modifican los momentos canónicos y/o las relaciones de conmutación canónicas. Cuando uno es riguroso, muchas cosas cambian cuando se añaden las interacciones. Haag sólo asumió que "algunas" cosas cambian, por lo que sus resultados son intrascendentes para la física.
En cualquier caso, este teorema de 1955 está obsoleto -como la mayor parte de la antigua disciplina que se conocía como teoría cuántica de campos algebraica o teoría axiomática de campos- y ten por seguro que las teorías cuánticas de campos interactivos existen -la QCD de celosía es un ejemplo de una forma concreta de definirlas- y es igualmente cierto que la aproximación perturbativa de todas las amplitudes físicas puede calcularse por los métodos perturbativos habituales, con la filosofía adicional y los refinamientos rigurosos que proporciona, por ejemplo, el formalismo LSZ que has mencionado.
El teorema de Haag se inventó como un intento de demostrar que había algo mal en uno de los primeros diagramas de bucle que la gente entendió: el gráfico de polarización del vacío. Al Sr. Haag no le gustaban. Sin embargo, no hay nada malo en el diagrama de bucles -o en cualquier otro diagrama de bucles que se convirtió en el grueso del conocimiento sobre la física de partículas en las décadas posteriores. Los avances en la renormalización demostraron que los cálculos, incluidos los bucles, son totalmente válidos. El grupo de renormalización hizo algunos progresos más: explicó por qué las teorías son universales y por qué la sustracción de infinitos funciona. El teorema de Haag se volvió engañoso y obsoleto en la década de 1970.
En particular, el formalismo LSZ utiliza la "hipótesis adiabática", la suposición de que se pueden despreciar las interacciones entre las partículas en el pasado asintótico. Al activar lenta y continuamente la constante de acoplamiento, podemos mapear los estados de las partículas libres a los estados que describen las partículas en el espacio de Hilbert en interacción. Esto es posible siempre que todas las distancias entre las partículas sean grandes. Sin embargo, este procedimiento no funcionaría para configuraciones generales de partículas cercanas, por lo que no se puede convertir este truco en una equivalencia unitaria "canónica" completa entre los espacios de Hilbert libre y de interacción. Es evidente que no existe tal isomorfismo "natural" o "único" o "canónico" porque las teorías libre e interactiva no son físicamente equivalentes. Entendido racionalmente, el teorema de Haag no dice nada más que esta proposición evidente. Sin embargo, tal isomorfismo no es necesario para calcular cantidades físicamente significativas como las amplitudes de dispersión.
Al menos desde el punto de vista de la física como ciencia empírica, debería estar claro que los cálculos reales de la QFT son buena ciencia -que ha hecho predicciones y ha superado pruebas que comparan las predicciones con los experimentos- mientras que el teorema de Haag no lo es porque no ha predicho nada que haya superado pruebas empíricas. El teorema de Haag trata de encontrar problemas con el hecho de que la teoría cuántica de campos contiene nuevos efectos, como la renormalización, que no aparecen en la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad. Sin embargo, estos efectos adicionales de la teoría cuántica de campos son reales y esenciales y no conducen a ninguna incoherencia.
El teorema de Haag no es una herramienta para hacer física de partículas; es una excusa para alguien que no quiere estudiar física de partículas. Como todo teorema, dice "A implica B". Como sabemos que B es incorrecto -la QFT perturbativa claramente funciona- se deduce que los supuestos A no son correctos.
