Dimensión mínima de un espacio nulo de un mapa lineal

Question

¿Cómo puedo demostrar que la dimensión del espacio nulo de un mapeo lineal es al menos un número entero? Por ejemplo, dejemos que $$L: P_5 \rightarrow \mathbb{R}^2$$

¿Cómo puedo demostrar que $dim(ker(L) \geq 4$ y esa igualdad se mantiene si y sólo si $L$ es en?

Puedo utilizar el teorema de rango-nulidad para llegar a $2+dim(ker(L)) = 6$ pero no estoy seguro de a dónde ir desde aquí.

Answer 1

La idea es correcta. Queremos utilizar el Teorema Fundamental de los Mapas Lineales (o el teorema de la nulidad del rango, como lo has llamado) para proporcionar un límite inferior a la dimensión del núcleo de $L$ . Bueno, qué sabemos:

$$ dimnull(L) +dimrange(L) = dim(\mathcal{P}_5)$$

Sabemos que $dimrange(L)≤2$ porque alcanza el valor máximo de $2$ si es sobreyectiva, si no lo es $0$ o $1$ . También, $dim(\mathcal{P}_5)=6$ . Tenemos:

$$dimnull(L) ≥ dim(\mathcal{P}_5)-max(dimrange(L)) \implies dimnull(L)≥6-2=4 \therefore dimnull(L)≥4$$

Tenga en cuenta que cuando escribo $max(dimrange(L))$ Me refiero al valor más alto que puede alcanzar.