Una aproximación intuitiva a la forma normal de Jordan

Question

Quiero entender el significado de la forma normal de Jordan, ya que creo que es crucial para un matemático.

Por lo que entiendo, la idea es obtener la representación más cercana de un endomorfismo arbitrario hacia la forma diagonal. Como la diagonalización sólo es posible si hay suficientes vectores propios, tratamos de obtener una representación del endomorfismo con respecto a sus espacios propios generalizados, ya que su suma siempre nos da el espacio completo. Por tanto, llevar un endomorfismo a su forma normal de Jordan siempre es posible.

La frecuencia con la que un valor propio aparece en la diagonal del JNF viene determinada por su multiplicidad algebraica. El número de bloques viene determinado por su multiplicidad geométrica. Aquí no estoy seguro de haber entendido bien la idea. Es decir, me cuesta interpretar esta afirmación.

¿Qué significa un bloque normal de Jordan y por qué el número de estos bloques es igual al número de vectores propios linealmente independientes?

No quiero ver una prueba rigurosa, pero tal vez alguien podría responderme a las siguientes subpreguntas.

(a) ¿Por qué tenemos que empezar un nuevo bloque por cada nuevo eigenvector linealmente independiente que podamos encontrar?

(b) ¿Por qué no tenemos un bloque para cada eigespacio generalizado?

(c) ¿Cuál es la intuición detrás del hecho de que los bloques de Jordan que contienen al menos $k+1$ entradas del valor propio $\lambda$ se determinan por lo siguiente? $$\dim(\ker(A-\lambda I)^{k+1}) - \dim(\ker(A-\lambda I)^k)$$

Answer 1

Permítanme esbozar una prueba de la existencia de la forma canónica de Jordan que, en mi opinión, la hace algo natural.

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Digamos que un endomorfismo lineal $f:V\to V$ de un espacio vectorial de dimensión finita no nula es descomponible si existe adecuado subespacios $U_1$ , $U_2$ de $V$ tal que $V=U_1\oplus U_2$ , $f(U_1)\subseteq U_1$ y $f(U_2)\subseteq U_2$ y digamos que $f$ es indecomponible si no es descomponible. En términos de bases y matrices, es fácil ver que el mapa $f$ es descomponible si existe una base de $V$ tal que la matriz de $f$ con respecto a la cual tiene una descomposición diagonal de bloques no trivial (es decir, es diagonal de bloques dos bloques)

Ahora no es difícil demostrar lo siguiente:

Lema 1. Si $f:V\to V$ es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita no nula, entonces existe $n\geq1$ y subespacios no nulos $U_1$ , $\dots$ , $U_n$ de $V$ tal que $V=\bigoplus_{i=1}^nU_i$ , $f(U_i)\subseteq U_i$ para todos $i\in\{1,\dots,n\}$ y para cada uno de ellos $i$ la restricción $f|_{U_i}:U_i\to U_i$ es indecomponible.

De hecho, se puede imitar más o menos el argumento habitual que demuestra que todo número natural mayor que uno es un producto de números primos.

Este lema nos permite reducir el estudio de los mapas lineales al estudio de indecomponible mapas lineales. Así que deberíamos empezar por intentar ver cómo es un endomorfismo indecomponible.

Hay un hecho general que resulta útil a veces:

Lema. Si $h:V\to V$ es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces existe un $m\geq1$ tal que $V=\ker h^m\oplus\def\im{\operatorname{im}}\im h^m$ .

Dejaré su prueba como un ejercicio agradable.

Así que fijemos un endomorfismo indecomponible $f:V\to V$ de un espacio vectorial de dimensión finita no nula. Como $k$ es algebraicamente cerrado, existe un $v\in V$ y un escalar $\lambda\in k$ tal que $f(v)=\lambda v$ . Considere el mapa $h=f-\lambda\mathrm{Id}:V\to V$ podemos aplicar el lema a $h$ y concluimos que $V=\ker h^m\oplus\def\im{\operatorname{im}}\im h^m$ para algunos $m\geq1$ . además, es muy fácil comprobar que $f(\ker h^m)\subseteq\ker h^m$ y que $f(\im h^m)\subseteq\im h^m$ . Puesto que suponemos que $f$ es indecomponible, uno de $\ker h^m$ o $\im h^m$ debe ser el conjunto de $V$ . Como $v$ está en el núcleo de $h$ por lo que también está en el núcleo de $h^m$ , por lo que no está en $\im h^m$ y vemos que $\ker h^m=V$ .

Esto significa, precisamente, que $h^m:V\to V$ es el mapa cero, y vemos que $h$ es nilpotente . Supongamos que su índice de nilpotencia es $k\geq1$ y que $w\in V$ sea un vector tal que $h^{k-1}(w)\neq0=h^k(w)$ .

Lema. El conjunto $\mathcal B=\{w,h(w),h^2(w),\dots,h^{k-1}(w)\}$ es una base de $V$ .

Este es de nuevo un buen ejercicio.

Ahora deberías poder comprobar fácilmente que la matriz de $f$ con respecto a la base $\mathcal B$ de $V$ es un bloque Jordan.

De esta manera concluimos que todo endomorfismo indecomponible de un espacio vectorial dimensional finito no nulo tiene, en una base apropiada, un bloque de Jordan como matriz. De acuerdo con el Lemma 1, entonces, todo endomorfismo de un espacio vectorial dimensional finito no nulo tiene, en una base apropiada, una matriz diagonal de bloques de Jordan.

Answer 2

El verdadero significado de la forma canónica de Jordan se explica en el contexto de la teoría de la representación, es decir, de las representaciones de dimensión finita del álgebra $k[t]$ (donde $k$ es su campo de tierra algebraicamente cerrado):

• La unicidad de la forma normal es el teorema de Krull-Schmidt, y
• la existencia es la descripción de los módulos indecomponibles de $k[t]$ .

Además, la descripción de los módulos indescomponibles es más o menos fácil (en un sentido fuerte: si no conocieras la forma canónica de Jordan, podrías adivinarla mirando lo siguiente:) los módulos simples son muy fáciles de describir (aquí es donde entra la cerrazón algebraica) y las extensiones entre ellos (en el sentido del álgebra homológica) también son fáciles de describir (porque $k[t]$ es un anillo hereditario) Juntando estas cosas (más el teorema de Jordan-Hölder) se obtiene la existencia.

Answer 3

No hay ningún significado real detrás de la forma normal de Jordan; esta forma es tan buena como se puede conseguir en general (y entonces sólo sobre un campo donde el polinomio característico se divide). Es decir, lo mejor que se puede conseguir en nuestros intentos de entender la acción de un operador lineal $~\phi$ en un espacio vectorial de dimensión finita descomponiendo el espacio como una suma directa de $\phi$ -subespacios estables, por lo que podemos estudiar la acción de $~\phi$ en cada uno de los componentes por separado, y reconstruir la acción completa a partir de la acción sobre los componentes. (Este no es el único enfoque posible para entender $~\phi$ pero se puede decir que siempre que esa descomposición es posible, simplifica nuestra comprensión). Las descomposiciones de suma directa en $\phi$ -corresponden a la reducción de la matriz a una forma diagonal en bloque (el $\phi$ -La estabilidad significa que las imágenes de los vectores base en cada sumando sólo implican vectores base en el mismo sumando, de ahí los bloques diagonales), y cuanto más fina sea la descomposición, más pequeños serán los bloques diagonales. Si se puede descomponer en una suma de $1$ -dimensional $\phi$ -Entonces se obtiene una matriz diagonal, pero esto no siempre es posible. El bloque de Jordan corresponde a $\phi$ -que no se pueden descomponer de ninguna manera como una suma directa de subespacios más pequeños, por lo que son el final de la línea de nuestras descomposiciones.

Sus preguntas concretas son más fáciles de responder. Dado que (los subespacios correspondientes a) los bloques de Jordan para $~\lambda$ se obtienen a partir de una descomposición de la suma directa (no única) del eigespacio generalizado para $\lambda$ se puede estudiar el eigespacio generalizado a lo largo de esa descomposición; en particular, el (verdadero) eigespacio es la suma directa de los eigespacios de cada bloque de Jordan, y cada uno de ellos es de dimensión $~1$ por lo que la dimensión del eigespacio para $~\lambda$ es igual al número de bloques de Jordan para $~\lambda$ . Ver esta respuesta .

Esto también responde a la pregunta (a), aunque debo señalar que no se empieza con los vectores propios para encontrar una descomposición en bloques de Jordan. Es al revés: cada bloque de Jordan en el que se puede descomponer viene con (hasta un escalar) un único vector propio, y (puesto que la descomposición es una suma directa) estos vectores para diferentes bloques son linealmente independientes. En general, no se puede tomar simplemente cualquier base del eigespacio para $~\lambda$ y construir un bloque de Jordan alrededor de cada vector base. Para ver por qué, consideremos la situación en la que los bloques de Jordan deben ser de tamaños $2$ y $1$ . Entonces el vector propio procedente del bloque de Jordan más grande debe estar no sólo en el núcleo, sino también en la imagen de $\phi-\lambda I$ y no todos los vectores propios de $~\lambda$ tienen esa propiedad; por tanto, sólo las bases en las que un vector base es un vector propio especial pueden corresponder a una descomposición en bloques de Jordan. (En realidad, dar un algoritmo para descomponer en bloques de Jordan no es fácil, aunque la posibilidad de hacerlo es un hecho teórico importante).

La respuesta a la pregunta (b) está implícita en esto: ya que un bloque de Jordan por naturaleza sólo contribuye $1$ a la multiplicidad geométrica de $~\lambda$ hay que tener múltiples bloques de Jordan dentro del eigespacio generalizado siempre que la multiplicidad geométrica de $~\lambda$ es más de uno. Pensemos en el caso simple de una matriz diagonalizable con un espacio eigénico (generalizado) de dimensión $d>1$ una matriz diagonal con $d$ entradas diagonales $~\lambda$ es no un bloque de Jordania. y esto sólo puede ser visto como $d$ Bloques jordanos de tamaño $1$ engarzado. De hecho, no hay que desear que haya un solo bloque de Jordan: esta descomposición más fina es en realidad mucho mejor (cuando es posible). Obsérvese que en el caso diagonalizable cualquier descomposición del eigespacio en $1$ -Los subespacios dimensionales lo harán, ejemplificando la naturaleza altamente no única de las descomposiciones.

Por último, para la pregunta (c), observe que dentro de un solo bloque de Jordan, las dimensiones de los núcleos de las potencias de $A-\lambda I$ en su fórmula aumentan con el exponente por pasos unitarios hasta alcanzar el tamaño del bloque de Jordan (después de lo cual permanecen constantes), de modo que el bloque de Jordan contribuye como máximo a $~1$ a la diferencia de dimensiones, y lo hace si y sólo si su tamaño es al menos $k+1$ . De nuevo, por la buena naturaleza de las sumas directas, se pueden sumar estas contribuciones de cada uno de los bloques de Jordan, por lo que la diferencia de dimensiones es igual a la número de un bloque de Jordania de un tamaño mínimo $k+1$ . (Y esta es una forma de ver que este número no puede depender de las elecciones que se hagan al descomponer el espacio en bloques de Jordan).

Answer 4

En estas notas Doy una aproximación "media" a los subespacios invariantes y a las formas canónicas. En este caso, significa que es un poco más sofisticado que lo que se encontraría en un primer curso de álgebra lineal -en particular, trabajo sobre un campo arbitrario y luego me especializo en el caso algebraico cerrado- pero que se mantiene en el entorno del álgebra lineal en lugar de la teoría de módulos: especialmente, la idea de isomorfismo abstracto (de los módulos) no se utiliza nunca, sino sólo similitud (de matrices). Sin embargo, este enfoque se generalizaría para dar el teorema de la estructura para los módulos generados finitamente sobre un PID con pocos problemas.

Mi perspectiva es la de entender los subespacios invariantes de forma más general y encontrarlos todos, si es posible (persigo este problema de forma un poco más tenaz que en la mayoría de los tratamientos estándar que conozco). El resultado clave es el Teorema de descomposición cíclica en la sección 5, que dice que dado cualquier endomorfismo $T$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ se puede escribir $V$ como una suma directa de subespacios estabilizados por $T$ y en el que el polinomio mínimo de $T$ es principal es decir, una potencia de un polinomio irreducible. Esta es la generalización apropiada del "espacio eigénico generalizado" al caso no cerrado algebraicamente. La forma canónica de Jordan se deduce fácilmente y se discute en la sección 6. En mi terminología, la JCF existe si y sólo si el polinomio mínimo es dividir es decir, es un producto de factores lineales sobre el campo terrestre.

Antes de escribir estas notas hacía muchos años que no tenía que pensar en la JCF, así que al menos para mí pretenden dar una explicación conceptual sencilla(s) de la JCF.

Sin duda, hay otros enfoques. Sólo para señalar brevemente uno más: JCF es una buena aplicación del Teorema chino del resto de los módulos Véase, por ejemplo, la sección 4.3 de mis apuntes de álgebra conmutativa . Desde esta perspectiva, la generalización natural sería el concepto de descomposición primaria de un módulo (que lamentablemente no discuto en mis apuntes de álgebra conmutativa, pero la mayoría de las referencias estándar sí lo hacen): para qué sirve esto se vuelve más claro cuando uno estudia geometría algebraica.