Punto fijo y periodo de la función continua

Question

Demostrar/desmentir:

1. Dejemos que $f:(0,1)\to(0,1)$ sea tal que $|f(x)-f(y)|\leq 0.5|x-y|$ para todos $x ,y.$ Entonces f tiene un punto fijo.

   2. Permita que $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ser continua y periódica con periodo $T>0.$ Entonces existe un punto $x_0\in\mathbb R$ tal que

   $f(x_0)=f(x_0+T/2).$

Answer 1

• Dejemos que $f(x)=\frac{x}{2}$ así que $f$ no tiene un punto fijo en $(0,1)$ .

• Dejemos que $g(x)=f(x+T/2)-f(x)$ entonces $g$ es continua y $g(0)g(T/2)\le0$ así que utiliza el teorema del valor intermedio para concluir.

Answer 2

El contraejemplo para $1$ es la función $f(x) = x/4$ que sólo tendría un punto fijo si $0$ se incluyó en el intervalo.

Answer 3

O utilice la función trivial $f(x) = 0$ .