cómo prueban esta Transformada de Fourier de la función de impulso unitaria

Question

En mi libro de texto, para demostrar $\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}d\omega $ se comporta como función de impulso unitaria evalúan la integral :

$\ \int_{-\infty}^{\infty}\bigg[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}d\omega \bigg]g(t)dt$

donde $\ g(t)$ es una señal arbitraria de buen comportamiento que es continua en $\ t=0 $ y cuya transformada de Fourier $\ G(\omega)$ . Así que

$\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\bigg[\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{j\omega t}dt \bigg]d\omega= \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty}G(-\omega)d\omega $

y la fórmula de inversión se deduce que $\ \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty}G(-\omega)d\omega = \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)d\omega =g(0) $

Cómo consiguen esta última línea. No se da ninguna información adicional.Cómo escriben esto dos integrales son iguales o hay valor es el valor de $\ g$ en $\ t=0$ ?

Answer 1

Recordemos que

$$g(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

Por lo tanto,

$$g(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)e^{i\omega 0}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)d\omega$$

Ahora sustituye $\omega \to -\omega$ . Los límites se invierten, pero al absorber el signo menos del "diferencial", tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)d\omega=\int_{\infty}^{-\infty}G(-\omega)(-d\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}G(-\omega)d\omega$$

Answer 2

Sugerencia, para la primera igualdad, observe que $f(x)|_{a} = f(-x)|_{-a}$ y que estás integrando sobre un intervalo simétrico. Para la segunda igualdad, mira la fórmula de la transformada inversa de Fourier. ¿Qué sucede con el término exponencial en el integrando cuando $t=0$ ?