Minimizar la suma de funciones implica minimizar sus cuadrados, maximizar la suma de las inversas?

Question

Tengo $n$ funciones (Say $f_1\space to \space f_n$ ) de $k$ variables (Say $x_1\space to\space x_k$ ) cada uno. Las funciones son todas positivas, así como las variables $xi's$ . No tengo expresiones explícitas para estas funciones.
El objetivo es minimizar $$\sum_{i=1}^n{f_i} \ \ \ \ \ \ \ subject \space to \ \ \ \ \sum_{i=1}^k{x_i^2} = P$$ donde P es una constante conocida.

¿En qué caso(s) podemos suponer que esto equivale a minimizar la suma de los cuadrados de estas funciones?
es decir $$min\sum_{i=1}^n{f_i^2} \ \ \ \ \ \ \ subject \space to \ \ \ \ \sum_{i=1}^k{x_i^2} = P$$ Además, ¿en qué caso(s) podemos suponer que esto equivale a MAXIMIZAR la suma de las inversas de estas funciones?
es decir $$max\sum_{i=1}^n{ {1\over f_i}} \ \ \ \ \ \ \ subject \space to \ \ \ \ \sum_{i=1}^k{x_i^2} = P$$ Suponiendo que las funciones se comportan bien, son continuas, diferenciables y todo eso.

Answer 1

$x^{4/3}+y^{4/3}$ con sujeción a $x^2+y^2=2$ se minimiza en $(0,\sqrt2)$ .

$x^{8/3}+y^{8/3}$ con sujeción a $x^2+y^2=2$ se minimiza en $(1,1)$ .

Así que, en respuesta a la pregunta del título, minimizar la suma de funciones no minimiza necesariamente la suma de sus cuadrados.

Answer 2

Todos estos casos no son equivalentes. Se trata de funciones objetivo totalmente diferentes que conducen a una optimización completamente distinta.