Hace $\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-4}{(n-1)^2(n+3)^2} $ ¿converger?

Question

Hace $\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-4}{(n-1)^2(n+3)^2} $ ¿converger?

He utilizado la prueba integral y he comprobado que sí, pero es un poco engorroso. ¿Hay alguna manera más fácil?

Gracias

Answer 1

Puedes buscar un límite. Por ejemplo $$0\le\frac{n^2-4}{(n-1)^2(n+3)^2}<\frac{n^2}{(n-1)^2n^2}=\frac{1}{(n-1)^2}$$ Y es sencillo demostrar que $$S=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)^2}$$ converge, y la suma estará acotada entre $$0\le\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-4}{(n-1)^2(n+3)^2}\le S$$

Answer 2

Lo más fácil es utilizar equivalencia ya que es una serie con términos positivos: $$\frac{n^2-4}{(n-1)^2(n+3)^2}\sim_\infty\frac{n^2}{n^2\cdot n^2}=\frac1{n^2}, $$ que convergen.

Answer 3

Par descomposición parcial de la fracción , $$\begin{eqnarray*}\sum_{n\geq 3}\frac{n^2-2n-3}{(n-2)^2 (n+2)^2}&=&\frac{1}{32}\sum_{n\geq 3}\left(\color{blue}{\frac{7}{x-2}-\frac{7}{x+2}}+\color{red}{\frac{10}{(x+2)^2}-\frac{6}{(x-2)^2}}\right)\\&=&\frac{1}{32}\left[\color{blue}{\frac{175}{12}}\color{red}{-6\,\zeta(2)+10\left(\zeta(2)-\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)}\right]\\&=&\frac{1}{32}\left[\frac{25}{72}+4\,\zeta(2)\right]=\color{purple}{\frac{25}{2304}+\frac{\pi^2}{48}}.\end{eqnarray*}$$ La suma azul es un suma telescópica la suma roja es un suma conocida .