Demostrar que una función es una transformación lineal

Question

Dejemos que $L\colon\mathbf{P_2}\to \mathbf{P_2}$ sea dada por $L[p(x)] = p(2x+1)$ . Queremos demostrar que es una transformación lineal.

Tratando de demostrar que $L[u+v] = L[u]+L[v]$

$$\begin{align*} L[p(x)+q(x)] &= 2[p(x)+q(x)]+1\\ &= 2p(x)+2q(x)+1 \end{align*}$$

Del otro tamaño de $L[u]+L[v]$ $$\begin{align*} L[q(x)]+L[q(x)] &= 2(p(x)+1)+2(q(x)+1)\\ &=2p(x)+2q(x)+4 \end{align*}$$

Estos resultados no coinciden, por lo que $L[p(x)]=p(2x+1)$ no puede ser una transformación lineal?

Answer 1

No, no, no, no, no.

La fórmula dice: $L[p(x)] = p(2x+1)$ .

Usted está computando $2p(x) + 1$ en su lugar.

¿Notas la diferencia?

Aquí: Si $p(x) = x^2$ entonces $$L[p(x)] = p(2x+1) = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.$$ Has calculado $$2p(x) + 1 = 2x^2 + 1.$$ Estás computando lo que no debes.

La fórmula para $L$ es: enchufar $2x+1$ en lugar de $x$ .

(Sí, la función $F[p(x)] = 2p(x)+1$ no es lineal; se puede comprobar simplemente observando que $F[0] = 1\neq 0$ pero las transformaciones lineales deben mapear $0$ a $0$ pero esa no es la función que se le pide que demuestre que es lineal).