Dejemos que $$ p(x, y) \equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\times\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)$$ sea la distribución normal estándar conjunta. Sea $q(x, y)$ sea la función de densidad bajo Q. Sea $L$ sea la medida de Lebesgue.
Entonces, por definición $$\frac{dP}{dL}=p(x, y)\quad\text{and}\quad \frac{dQ}{dL}=q(x, y).$$
Por lo tanto, $$ q(x, y) = \frac{dQ}{dL} = \frac{dQ}{dP}\frac{dP}{dL} = \frac{e^{xy\theta}}{Ee^{XY\theta}} p(x, y).$$
Se puede comprobar $e^{xy\theta}$ no es una función separable en términos de producto para $\theta \in (0, 1)$ . Nota adicional $p(x, y)$ es separable en términos de producto y $Ee^{XY\theta}$ es una función de $\theta$ (se considera una constante). Por lo tanto, $q(x, y)$ no es separable en términos de producto. Por lo tanto, $X, Y$ no son independientes bajo la medida de probabilidad $Q$ .
P.D.: Observando que la función de generación de momentos para una distribución normal estándar es $M(t)=e^{\frac{1}{2}t^2}$ , $$Ee^{XY\theta}=E_XE_Ye^{(X\theta)Y}=E_Xe^{\frac{1}{2}\theta^2X^2} = \int \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{(1-\theta^2)x^2}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\theta^2}}.$$
Para la separabilidad, se puede consultar: teorema 3 . Si quieres evitar la separabilidad, puedes calcular las densidades marginales y demostrar que la densidad conjunta no es un producto de marginales.
