Pregunta sobre el Teorema de Bell y las ecuaciones de variable oculta

Question

Estoy tratando de entender la explicación de Griffiths del teorema de Bell en el capítulo 12 de la 2ª edición de Intro to QM (o la sección A.2 del epílogo en la 1ª edición).

Comienza con dos detectores dados que miden la componente de espín a lo largo de los ejes denotados por el vector $\vec{a}$ y el detector de la derecha a lo largo de $\vec{b}$ definimos una función que es la media del producto de los espines de ambas partículas llamada $P(\vec{a}, \vec{b})$

A continuación, define otras dos funciones $A(\vec{a},\lambda)=\pm 1$ y $B(\vec{b},\lambda)=\pm 1$ donde estas dos funciones expresan la componente del momento angular de una partícula en función de una variable oculta $\lambda$ y a lo largo de los ejes mencionados.

En el caso de las partículas enredadas, si los detectores están alineados, los espines están anticorrelacionados de forma que

$$A(\vec{a},\lambda)=-B(\vec{a},\lambda)$$

A continuación define la media del producto de los giros utilizando la variable oculta con una distribución de probabilidad $\rho(\lambda)$ como sigue

$$\begin{align*} P(\vec{a}, \vec{b}) &= \int \rho(\lambda)\, A(\vec{a},\lambda)\, B(\vec{b},\lambda) \, d\lambda\\ &= -\int \rho(\lambda) \, A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{b},\lambda) \, d\lambda \end{align*}$$

Ahora, dado cualquier otro vector unitario $\vec{c}$ entonces

$$\begin{align*} P(\vec{a}, \vec{b}) - P(\vec{a}, \vec{c}) &= -\int \rho(\lambda) \Big[ \, A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{b},\lambda) - A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] \, d\lambda\\ &= -\int \rho(\lambda) \Big[ 1 - A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] \, A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \, d\lambda \hspace{5mm}\textbf{ since } [A(b,\lambda)]^2=1 \end{align*}$$

La siguiente parte es donde me pierde. Luego afirma que desde $-1 \leq A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda)\leq +1$ y que desde $\rho(\lambda) \Big[ 1 - A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] \geq 0$ (que entiendo ambos puntos) luego salta a esto (que no entiendo):

$$|P(\vec{a}, \vec{b}) - P(\vec{a}, \vec{c})| \leq \int \rho(\lambda) \Big[ 1 - A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] d\lambda$$

¿Qué pasos se está saltando aquí? Lo único que se me ocurre es que efectivamente está tomando el valor absoluto el lado derecho? Y lo está haciendo dentro de la integral descartando efectivamente el $A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda)$ (ya que es sólo $\pm 1$$ y descartando el signo negativo delante de la integral.

¿Es eso o estoy equivocado?

Answer 1

En primer lugar, tienes una errata.

$$\begin{align*} P(\vec{a}, \vec{b}) &= -\int \rho(\lambda) \, A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{b},\lambda) \, d\lambda \end{align*}$$

Por lo tanto,

$$\begin{align*} P(\vec{a}, \vec{b}) - P(\vec{a}, \vec{c}) &= -\int \rho(\lambda) \Big[ \, A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{b},\lambda) - A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] \, d\lambda\\ &= -\int \rho(\lambda) \Big[ 1 - A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] \, A(\vec{a},\lambda) \, A(\vec{b},\lambda) \, d\lambda \end{align*}$$ En lugar de $$-\int \rho(\lambda) \Big[ 1 - A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \Big] \, A(\vec{b},\lambda) \, A(\vec{c},\lambda) \, d\lambda,$$

que es igual a cero ya que como $[A(\vec b,\lambda)]^2=1=[A(\vec c,\lambda)]^2$ .

En cuanto a tu pregunta recuerda la desigualdad del triángulo:

$$|a+b|\leq |a|+|b|$$

Por lo tanto,

$$\left|\sum a_n\right|\leq\sum\left|a_n\right|$$ Y finalmente $$\left|\int a_n\right|\leq\int\left|a_n\right|.$$ Por lo tanto, si se toma el valor absoluto de ambos lados de la correcta igualdad (el que aparece en el documento de Bell, no el que tienes sin $\vec a$ ) y luego empujar ese valor absoluto en el interior se obtiene un en igualdad y luego utilizar $|ab|=|a|\,|b|$ y que $|\pm 1|=1$ y tú eres bueno.