$f^*(U_1 \times ... \times U_k) = \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i)$

Question

Estoy tratando de probar este resultado y realmente apreciaría si pudieras dar algún comentario en mi prueba.

Resultado: Dejemos que $A,A_1,...,A_k$ sean conjuntos, para algún entero positivo $k$ , dejemos que $f: A \rightarrow A_1 \times ... \times A_k$ sea una función y que $U_i \subseteq A_i$ para cada $i \in \{1,...,k\}$ . Entonces $$f^*(U_1 \times ... \times U_k) = \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i).$$

Utilizaré el mapa $\pi_i:A_1 \times ... \times A_k \rightarrow A_i$ definido por $\pi_i((x_1,...,x_k))=x_i$ para todos $(x_1,...,x_k) \in A_1 \times ... \times A_k$ ( el mapa de proyección ). Además, haré uso de las funciones $f_i: A \rightarrow A_i$ definido por $f_i = \pi_i \circ f$ para todos $i \in \{1,...,k\}$ ( las funciones de los componentes de $f$ ) .

Prueba: Para demostrar que $f^*(U_1 \times ... \times U_k) = \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i)$ tenemos que demostrar que cada uno de los conjuntos es un subconjunto del otro.

Dejemos que $a \in f^*(U_1 \times ... \times U_k)$ . Tenemos que $f(a) \in U_1 \times ... \times U_k$ . Entonces $f(a)=(u_1,...u_k)$ avec $u_i \in U_i$ para cada $i \in \{1,...,k\}$ . Por la definición de las funciones componentes, vemos que $u_i = (\pi_i \circ f)(a)=f_i(a)$ para todos $i \in \{1,...,k\}$ . Por lo tanto, $f_i(a) \in U_i$ para todos $i \in \{1,...,k\}$ . Por definición, tenemos que $a \in f^*_i(U_i)$ para todos $i \in \{1,...,k\}$ Así que $a \in \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i)$ . Por lo tanto, $f^*(U_1 \times ... \times U_k) \subseteq \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i)$ .

Ahora, dejemos que $b \in \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i)$ . Tenemos que $b \in f^*_i(U_i)$ para todos $i \in \{1,...,k\}$ . Por definición, $f_i(b) \in U_i$ para todos $i \in \{1,...,k\}$ . Esto implica que $(f_1(b),...,f_k(b)) \in U_1 \times ... \times U_k$ Así que $f(b) \in U_1 \times ... \times U_k$ . Por definición, concluimos que $b \in f^*(U_1 \times ... \times U_k)$ . Por lo tanto, $\bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i) \subseteq f^*(U_1 \times ... \times U_k)$ .

Con esto, concluimos que $f^*(U_1 \times ... \times U_k) = \bigcap_{i=1}^k f^*_i(U_i)$ .

$\square$

¡Muchas gracias!

Answer 1

Una prueba más simplificada: \begin{align} f^*(U_1 \times \cdots \times U_k) &= \{a \in A : f(a) \in U_1 \times \cdots \times U_k\} \\ &= \{a \in A : (f_1(a),\dots,f_k(a)) \in U_1 \times \cdots \times U_k\} \\ &= \{a \in A : f_i(a) \in U_i \textrm{ for all } i \in \{1,\dots,k\}\} \\ &= \{a \in A : a \in f^*(U_i) \textrm{ for all } i \in \{1,\dots,k\}\} \\ &= \bigcap_{i=1}^k f^*(U_i). \end{align}

Answer 2

La notación del asterisco es muy poco canónica y extremadamente extraña para ser utilizada en un entorno -- como el de la teoría de conjuntos -- donde hay una tradición tan natural, de sentido común y bien establecida de denotar imágenes inversas con $\bullet^{-1}$ , tradición que me atrevo a recomendarles también a ustedes.

Dada una familia $B$ de conjuntos indexados por un conjunto de índices no vacío $I \neq \varnothing$ (la suposición de no vacuidad sirve para evitar el caso de intersecciones vacías, que el sistema axiomático particular del que soy adepto no maneja), un conjunto $A$ y una familia de mapas $f \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(A, B_i)$ (lo que significa simplemente que en cada índice $i \in I$ el componente $f_i$ de la familia $f$ es un mapa de $A$ a $B_i$ ; $\mathbf{Ens}$ es el nombre que le doy a la categoría de conjuntos), denotamos por $g \colon A \to \displaystyle\prod_{i \in I}B_i$ le site producto directo de la familia $f$ en sentido restringido (también llamado por algunos diagonal producto), es decir, el mapa único $h \colon A \to \displaystyle\prod_{i \in I}B_i$ tal que $p_i \circ h=f_i$ para cada índice $i \in I$ , donde $p_i$ son las proyecciones canónicas del producto cartesiano de la familia $B$ . Su objetivo es demostrar que para cualquier familia $X \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathscr{P}(B_i)$ de subconjuntos (de nuevo, esto significa simplemente que en cada índice $i \in I$ el componente $X_i$ de la familia $X$ es un subconjunto de $B_i$ ) la relación: $$g^{-1}\left[\prod_{i \in I}X_i\right]=\bigcap_{i \in I}f_i^{-1}[X_i]$$ es válido.

Una prueba tal vez más elegante e inmediata está disponible cuando se observa el hecho de que: $$\prod_{i \in I}X_i=\bigcap_{i \in I}p_i^{-1}[X_i],$$ ya que al tomar imágenes inversas a través de $g$ en la relación anterior se obtiene fácilmente: $$\begin{align*} g^{-1}\left[\prod_{i \in I}X_i\right]&=g^{-1}\left[\bigcap_{i \in I}p_i^{-1}[X_i]\right]\\ &=\bigcap_{i \in I}g^{-1}\left[p_i^{-1}[X_i]\right]\\ &=\bigcap_{i \in I}\left(p_i \circ g\right)^{-1}[X_i]\\ &=\bigcap_{i \in I}f_i^{-1}[X_i]. \end{align*}$$