Aproximaciones numéricas erróneas de $\zeta\left(\frac{1}{2}\right)$ ?

Question

Por definición de la Función Zeta de Riemann, $$\zeta\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}.$$ Desde $\forall n \geq 1 : \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}$ tenemos que para todos $N \geq 1$ , $$\sum_{n=1}^N\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n},$$ pero es bien sabido que $$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=\infty,$$ así que $\zeta\left(\frac{1}{2}\right)$ diverge por la prueba de comparación.

En otras palabras, $\zeta\left(\frac{1}{2}\right)$ debería ser igual al infinito positivo, ¿correcto? Si es así, ¿por qué Maple, Mathematica y Matlab devuelven un valor de alrededor de $-1.4604$ cuando se le pide que se aproxime numéricamente a este valor? Por ejemplo, ver aquí .

Answer 1

La continuación analítica de $\zeta(s)$ para $Re(s)>0$ viene dada por

$$\zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s} } \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}.$$

Por ello, WolframAlpha le ofrece

$$\zeta \left( \frac12 \right) = -(1+\sqrt{2}) \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.$$

Ver aquí para más detalles.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Derek, la función zeta de Riemann $\zeta(s) = \sum_{n} n^{-s}$ originalmente sólo se consideraba para $s = \sigma + i t$ , donde $\sigma > 1$ . Tenga en cuenta que cuando $\sigma > 1$ la función zeta siempre converge absolutamente. Sin embargo, Riemann demostró que la definición de la $\zeta$ podría ampliarse mediante continuación analítica a todo el plano complejo (con un polo en $s = 1$ ). Allí, se satisface la ecuación funcional

$$ \Gamma(s/2) \pi^{-s/2} \zeta(s) = \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right) \pi^{- \frac{1-s}{2}}\zeta(1-s). $$

Answer 3

Lo tenemos incluso con las series geométricas (que tienen muchas cosas más fáciles que la serie Dirichlet/zeta).
Considere $s_2=1+2+4+8+...+2^k+...$ y $s_3=3+9+27+81+...+3^k+...$ .
Aunque cada término de $s_3$ es mayor que la del mismo índice k en $s_2$ (y ambas sumas son divergentes), la suma $s_2=-1 (={1 \over 1-2}) $ es mayor que $s_3 = -{3 \over 2} (={3 \over 1-3})$ (Puede buscar "series geométricas/secuencia analítica")

Answer 4

A la fórmula: $\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

se escribe en letra pequeña : $1<\Re(s)$

Es una trampa clásica. Aquí mi solución:

Según la Wikipedia en ruso :

$\zeta(s)=\displaystyle\lim_{N \to \infty}(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^s} -\frac{N^{1-s}}{1-s})$ para $\Re(s)>0$ y $\Re(s)\ne 1$ .

Al poner s=1/2 obtenemos:

$\zeta(1/2)=\displaystyle\lim_{N \to \infty}(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{n}} -2\sqrt{N})$

Esta serie converge muy lentamente pero converge.