Problema del teorema del conteo.

Question

Tengo una forma pentagonal:

Tengo que encontrar cuántas figuras diferentes se pueden hacer, si la estrella se considera igual al girar y reflejarse, de manera que cada pieza puede ser negra o azul.

Por cada pieza me refiero a los triángulos y al pentágono central.

Antes de poder aplicar el teorema del recuento, necesito encontrar el orden del grupo de simetría de la figura. Supongo que podría superponerla a un pentágono regular y luego aplicar los elementos del grupo de simetrías del pentágono regular a esta forma.

Lo único que me impide hacerlo es que los triángulos isósceles tienen diferentes longitudes de lado, por lo que al girar la figura por $2 \pi /5$ el espacio que ocupa la figura ha cambiado, ¿no es así?

Mi pregunta es, ¿cómo debo enfocar esto?

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¿Sería correcto decir que este grupo tiene 10 simetrías, 5 reflexiones, 5 rotaciones y la identidad?

Asumo que esto es correcto

He deducido el orden de cada elemento en el grupo de simetría.

He aplicado el teorema del recuento y he descubierto que el número de órbitas es 16.

Así que el número de estrellas posibles es 16. - ¿Es esto correcto?

Answer 1

Para colorear sólo los triángulos, veo una coloración sin triángulos negros, una coloración (hasta la simetría) con un triángulo negro, y dos coloraciones con dos triángulos negros (una con triángulos en los lados adyacentes del pentágono, otra con triángulos no en lados adyacentes). Hasta ahora son cuatro.

Las otras coloraciones de los triángulos tienen o sobre triángulos azules, un triángulo azul, o dos triángulos azules. Así que cuatro de ellos.

Para cada uno de estos $8$ colores puedo elegir el azul o el negro para el pentágono. Por lo tanto, mediante un recuento de fuerza bruta (relativamente), hay $16$ posibles coloraciones.

Esto es sólo una confirmación del resultado. Su enfoque parece mejor.