Consideremos una EDO general de 2º orden $$\alpha_2 y''(x) + \alpha_1 y'(x) + \alpha_0 y(x)=0$$ donde los coeficientes son todos polinomios cuadráticos reales de $x$ $$\alpha_n=\sum_{i=0}^{2}{a_i^{(n)} x^i}.$$ ¿Es posible tener una visión analítica y sobre todo forma cerrada soluciones (incluidas las funciones especiales)? Si no es así, ¿bajo qué hipótesis de los coeficientes (como cuál debe ser cero o así) se sabe que tiene?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$$\begin{cases} \alpha_2(x) y''(x) + \alpha_1(x) y'(x) + \alpha_0(x) y(x)=0\\ \alpha_n(x)=\sum_{i=0}^{2}{a_{i,n} x^i} \end{cases}$$ Esta EDO lineal de segundo orden incluye un gran número de parámetros (independientes de la altura). En consecuencia, los subcasos son numerosos:
Airy, Bessel, Bessel modificado, Bessel esférico, Chebyshev, Confluente hipergeométrico, Gauss hipergeométrico, Hermite, Jacobi, Laguerre, Legendre, Gegenbauer, Weber, Whittaker, y muchos otros.
Se definieron muchas funciones especiales que permiten expresar las soluciones de esas EDO en forma cerrada. Pero no se han estudiado todos los subcasos y las funciones especiales pertinentes no están normalizadas.
Se puede entender que su pregunta es muy amplia y que no se puede dar una respuesta general que cubra todos los casos.
Si te preocupa este tipo de problema general, en un primer paso deberías restringir tu consulta a las EDOs con sólo 3 o 4 parámetros independientes en lugar de 8. Esto sería un gran trabajo pero más realista hoy en día.
