Derivada de la medida F

Question

La medida F se define como la media armónica de la precisión y el recuerdo, por lo que $$F= \frac{2PR}{P+R}, \quad \frac{dF}{dR}=2\frac{P^2}{(P+R)^2}, \quad \frac{dF}{dP} = 2\frac{R^2}{(P+R)^2} $$

Supongamos que hay otra variable, $B$ tal que $P=f(B)$ y $R=g(B)$ . ¿Podemos expresar $\frac{dF}{dB}$ utilizando la regla de la cadena en términos de $\frac{dF}{dP}, \frac{dF}{dR}, \frac{dP}{dB}, \frac{dR}{dB}$ ?

Mi alternativa es obtener $F=h(B)$ a través de la sustitución y encontrar $\frac{dF}{dB}$ de esa ecuación, pero espero algo más sencillo. Entiendo que las derivadas parciales asumen que las otras cantidades se mantienen constantes, y esta suposición no se mantiene si tratamos de aplicar directamente la regla de la cadena como $\frac{dF}{dB} = \frac{dF}{dP} \frac{dP}{dB} $ .

Answer 1

Por la regla de la cadena:

$$\frac{dF}{dB}=\frac{\partial F}{\partial P}\frac{dP}{dB}+\frac{\partial F}{\partial R}\frac{dR}{dB}=\frac{\partial F}{\partial P}\frac{dP}{dB}+\frac{\partial F}{\partial R}\left[\frac{dR}{dP}\frac{dP}{dB}\right].$$

donde necesitarás saber qué $R=R(P)$ parece. Al diferenciar su ecuación para $F$ en $P$ y reordenándolo para $R$ debería obtener una respuesta para $\frac{dR}{dP}$ en términos de $dF/dP,P$ después de resolver también la ecuación original para $R$ en términos de $F,P$ .

Answer 2

Este es mi planteamiento para resolver, pero no sé si es correcto o todo lo sencillo que puede ser.

$$\frac{dF}{dB} = \frac{d}{dB} \Big[\frac{2PR}{P + R}\Big] = 2 \frac{(P+R)\frac{d}{dB}\big[PR\big] - PR\frac{d}{dB}\big[P +R\big] }{(P+R)^2} \qquad \text{Quotient Rule} $$ $$ = 2 \frac{(P+R)\big(\frac{dP}{dB}R + \frac{dR}{dB}P\big) -PR(\frac{dP}{dB} + \frac{dR}{dB})}{(P+R)^2} \qquad \text{Product, Addition Rule} $$ $$ = 2 \frac{ \frac{dP}{dB}PR + \frac{dR}{dB}PR + \frac{dR}{dB}P^2 + \frac{dP}{dB}R^2 -PR(\frac{dP}{dB} + \frac{dR}{dB})}{(P + R)^2}$$ $$ = 2 \frac{ PR(\frac{dP}{dB} + \frac{dR}{dB}) + \frac{dR}{dB}P^2 + \frac{dP}{dB}R^2 -PR(\frac{dP}{dB} + \frac{dR}{dB})}{(P + R)^2}$$ $$ = 2 \frac{ \frac{dR}{dB}P^2 + \frac{dP}{dB}R^2 }{(P + R)^2}$$

Que es lo que se obtiene si se aplica la regla de la cadena como se indica en la respuesta aceptada.