Si $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ es una función diferenciable y $f(x+2\pi)=f(x)$ para todos $x\in \mathbb{R}$ , lo haría $f(z+2\pi)=f(z)$ para todos $z\in \mathbb{C}$ ?
¿Existe algún teorema/lemática al respecto? ¿Hay algún ejemplo/contraejemplo para esto?
Si $f$ es holomorfo, entonces $g(z) = f(z+2\pi)$ también lo es. Pero como $f$ y $g$ son iguales en $\mathbb{R}$ El teorema de la identidad nos dice que son iguales en $\mathbb{C}$ .
Ahora bien, si sólo se asume la diferenciabilidad como función sobre $\mathbb{R}^2$ Hay contraejemplos. Por ejemplo $f(x+iy) = \sin(yx)$ .
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