¿Está bien invertir a ingeniero de pruebas en las preguntas de la tarea?

Question

En un álgebra lineal libro de texto, una tarea pregunta que recibí fue:

Demostrar que $\mathbf{a \cdot b} = \frac{1}{4}(\|\mathbf{a + b}\|^2 - \|\mathbf{a - b}\|^2)$.

Donde $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son vectores en $\Bbb{R}^n$.

Este es trivial demostrar si partimos de $\frac{1}{4}(\|\mathbf{a + b}\|^2 - \|\mathbf{a - b}\|^2)$ e ingeniería inversa en $\Bbb{R}^2$: $$ \|\mathbf{a + b}\|^2 = a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 + 2a_2b_2 + b_2^2 \\ \|\mathbf{a - b}\|^2 = a_1^2 - 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 - 2a_2b_2 + b_2^2 \\ \|\mathbf{a + b}\|^2 - \|\mathbf{a - b}\|^2 = 4a_1b_1 + 4a_2b_2 \\ \frac{1}{4}(\|\mathbf{a + b}\|^2 - \|\mathbf{a - b}\|^2) = \frac{4}{4}(a_1b_1 + a_2b_2) \\ = a_1b_1 + a_2b_2 = \mathbf{a \cdot b} $$

Pero estoy preocupada acerca de si o no las pruebas de este tipo son "legales", si eso tiene algún sentido. No había redacción de la pregunta diciendo que no podía arrancar desde el lado derecho de la identidad, pero todavía tengo esa extraña sensación de culpa de que yo debería haber tratado de resolver la identidad a partir de la izquierda lado y el trabajo en la dirección "normal".

Para preguntas como estas, es bueno comenzar por el lado derecho de la identidad? Haría lo que me salga de hacer la pregunta en sentido inverso ser el mismo que si lo hice normalmente?

Answer 1

Es absolutamente bien para invertir el ingeniero de pruebas! Mientras la prueba de obras en la final, no importa cómo llegué a él - de hecho, la ingeniería inversa de las pruebas es bastante técnica estándar.

Sin embargo, usted necesita tener cuidado en este enfoque: usted necesita para asegurarse de que cada paso es reversible ($p$ implica $q$ no $q$ implica $p$). Con su ejemplo aquí, sin embargo, fácilmente se puede invertir cada paso, porque todo es sólo la igualdad.

Vale la pena señalar que a pesar de su prueba de método está muy bien, la prueba en sí no obtener lo que se desea porque se ha asumido que $a,b\in\mathbb{R^2}$ al deseo de probar que para cualesquiera dos vectores $a,b\in\mathbb{R^n}$. Este problema, sin embargo, es fácilmente tratadas con (¿?).

Answer 2

Personalmente, sugiero este enfoque de la solución (que aborden la pérdida de generalidad por suponiendo que $\mathbb{R^2}$:

$$ 4\mathbf {a} \cdot \mathbf{b} = [\mathbf{(a+b)\cdot(a+b)}-\mathbf{(a-b)\cdot(a-b)}] $$

que lleva casi inmediatamente al resultado requerido.

Answer 3

No sólo es un 'OK', es igual de válido para ir desde el lado derecho al lado izquierdo como es para ir desde el lado izquierdo al lado derecho.

Por otra parte, a veces uno encuentra que el mejor enfoque es el trabajo de los dos extremos simultáneamente.

Como estudiante, usted puede encontrar que las simultánea enfoque es muy útil en un examen de la situación.

Tal vez cuando está completamente escrita, de una sola dirección, podría ser más fácil de seguir, pero la gran preocupación es la corrección.

De hecho, una cosa que puede impresionar en matemáticas examinador más allá de la corrección es la inteligencia, que, en matemáticas, generalmente significa encontrar un truco o atajo. Desde ese punto de vista, ser inteligente, de pensar si de RHS para LHS en lugar de en el lado izquierdo al lado derecho es una cosa buena.

Answer 4

Yo no sé acerca de la "ingeniería inversa" en general, pero supongo que es siempre bien: como anomalía comentado, podemos hacer cualquier cosa que lógicamente justificada.

En este caso la respuesta es muy clara, sin embargo. La igualdad es una relación simétrica: $x = $ y significa exactamente la misma cosa como $y = x$. Una prueba de ello es el mismo como una prueba de la otra (con la adición de un paso a la final donde se utiliza esta propiedad de simetría para voltear los dos lados, pero por lo general no hay ninguna razón para escribir esto porque va a ser obvio para el lector.)

Puedo imaginar algunas situaciones donde escribir $x = $ y en lugar de $ $ y = x$ podría ser mejor desde una perspectiva estilística, pero el estilo es generalmente menos importante que la corrección cuando se hace la tarea.

Answer 5

Definitivamente es una prueba válida, como la mención a las otras respuestas.

Una desventaja con una prueba como esta es que se quedan preguntando cómo llegó a la identidad en primer lugar...