Polinomios ortogonales bidimensionales (discretos) para la regresión

Question

Esta pregunta Cómo elaborar polinomios ortogonales para el modelo de regresión y la respuesta https://math.stackexchange.com/a/354807/51020 explicar cómo construir polinomios ortogonales para la regresión. Sin embargo, sólo consideran funciones unidimensionales.

Cómo podemos utilizar polinomios ortogonales (discretos) para la regresión con funciones bidimensionales (es decir, $z = f(x, y)$ )?

Answer 1

En tres dimensiones, tenemos los armónicos esféricos, un conjunto de polinomios ortogonales sobre la esfera unidad.

http://functions.wolfram.com/Polynomials/SphericalHarmonicY/

http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

En dos dimensiones, tenemos los polinomios de Zernike, ortogonales sobre el disco unitario.

http://functions.wolfram.com/Polynomials/ZernikeR/

http://mathworld.wolfram.com/ZernikePolynomial.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Zernike_polynomials

Para responder a tu pregunta mediante una demostración, construye las funciones radiales de Zernike aplicando el método de ortogonalización de Gram y Schmidt a la secuencia de funciones $$ \left\{ r^{2k} \right\}_{k=0}^{\infty} = \left\{ 1, r^{2}, r^{4}, \dots \right\} $$ en el intervalo $0\le r < 1$ con normalización mónica $(R(r)=1)$ . El resultado es el conjunto de polinomios de Zernike rotacionalmente invariantes $$ \left\{ R^{0}_{2k}(r) \right\}_{k=0}^{\infty} = \left\{ 1, 2r^{2}-1, 6r^{4} - 6r +1, \dots \right\} $$ En general, $$ R^{0}_{2k}(r) = \sum_{j=0}^{k} \left(-1\right)^{j} \frac{\left( 2k-j\right)!} {j!\left(\left( k-j\right)!\right)^{2}}r^{2(k-j)} $$

A continuación se muestra un diagrama de corte de los ocho primeros términos. Obsérvese la cualidad de Fourier: un término de desplazamiento constante, y luego funciones de media cero, con frecuencia creciente.

Podemos ampliar estos polinomios para tener en cuenta también la variación angular. El conjunto completo de polinomios de Zernike es el siguiente.

Empezar con enteros no negativos $n$ para pedir y $m$ para frecuencia angular tal que $n-m$ está en paz. La relación de recursión relación de recursión se simplifica definiendo el punto medio $\omega=\frac{1}{2}(n-m)$ y la media $\sigma=\frac{1}{2}(n+m)$ . El conjunto completo de polinomios radiales es: $$ R_n^m(r) = \sum_{j=0}^{\omega}{ \left(-1\right)^j \frac{(n-j)!} {j!\left(\omega-j\right)!\left(\sigma-j\right)!} r^{n-2j}} $$ Los polinomios de Zernike son un producto de las funciones radiales y el término exponencial $$ U_n^m(r,\theta) = R_n^{m}(r)e^{i m \theta} $$ El conjunto completo a través del orden $n=6$ se muestra a continuación. El aumento de la orden $n=0, 1, 2, dots$ bajando. La frecuencia angular aumenta a medida que se aleja de la línea central.

Hay varias formas de definir el disco de la unidad, $$ D_{2} = \begin{cases} \left\{z\in\mathbb{C} \colon |z| \le 1\right\} \\ \left\{\left( r, \theta \right)\in\mathbb{R}^{2} \colon 0\le r \le 1, 0 \le \theta < 2\pi\right\} \\ \left\{\left( x, y \right)\in\mathbb{R}^{2} \colon x^{2} + y^{2} \le 1\right\} \end{cases} $$ y los primeros polinomios se expresan en términos de las tres coordenadas.

$$ \begin{array}{cclllll} % n & m & \text{Complex} && \text{Polar} && \text{Cartesian} \\\hline % 0 & 0 & 1 & Re: & 1 & Re: & 1 \\[2pt] & & & Im: & 0 & Im: & 0 \\[4pt] % 1 & 1 & z & Re: & r\cos\theta & Re: & x \\[2pt] & & & Im: & r\sin\theta & Im: & y \\[4pt] % 2 & 0 & 2|z|^2-1 & Re: & 2r^{2}-1 & Re: & 2\left(x^{2} + y^{2}\right)-1 \\[2pt] & & & Im: & 0 & Im: & 0 \\[2pt] 2 & 2 & z^{2} & Re: & r^{2}\cos\theta & Re: & (x-y) (x+y) \\[2pt] & & & Im: & r^{2}\sin\theta & Im: & 2xy \\[4pt] % 3 & 1 & z\left(3|z|^2-2\right) & Re: & \left(3r^{2}-2r\right)\cos\theta & Re: & x \left(3 \left(x^2 + y^2\right) - 2\right) \\[2pt] & & & Im: & \left(3r^{2}-2r\right)\sin\theta & Im: & y \left(3 \left(x^2 + y^2\right) - 2\right) \\[2pt] 3 & 3 & z^{3} & Re: & r^{3}\sin\theta & Re: & \phantom{-}x^{3} - 3xy^{2} \\[2pt] & & & Im: & r^{3}\sin\theta & Im: & -y^{3} + 3yx^{2} \\[4pt] \end{array} $$