Una semilattice discreta de anchura finita tiene un número finito de puntos entre cualquier par de elementos.

Question

Dejemos que $(S,<)$ sea un semilatino contablemente infinito tal que

1) $S$ no es denso en ninguna parte, es decir, no existe un subconjunto $T$ tal que para todo $a,b\in T$ con $a<b$ existe $c\in T$ con $a<c<b$ ,

2) $S$ tiene una anchura finita $n$ - es decir, el tamaño máximo de las anticadenas de $S$ es $n$ .

Dejemos que $a,b\in S$ sea tal que $a<b$ .

Pregunta: ¿Es el conjunto $\{x\in S :a<x<b \}$ ¿Finito?

Answer 1

Creo que el ejemplo más sencillo viene dado por el ordinal $\omega+1=\{0<1<2<\cdots<\omega\}$ . Como orden de pozo no contiene anticanales, y está bien fundado (por lo tanto, no es denso en ninguna parte), pero por supuesto $\{x\in\omega+1\mid 0<x<\omega\}$ es infinito. Siempre infinito bien ordenado haría. También encontrarás muchos ejemplos en la clase más amplia de cuasi-órdenes de pozos.