¿Puede alguien explicar la noción de operador "no limitado" de la forma más sencilla posible?

Question

He leído sobre estos operadores en la mecánica cuántica, pero nunca los he visto en acción. Creo que esto se debe a que no entiendo en absoluto este concepto de forma intuitiva. He leído algunas cosas en internet pero requieren demasiados conocimientos previos para entenderlos. Sólo conozco el operador de posición y el de momento, ¿son estos ilimitados? ¿Cómo puedo demostrarlo?

¿Puede alguien explicar de la forma más sencilla posible qué es un operador no limitado y cuál es el significado de esta noción?

Answer 1

Si entiendes la noción de funciones acotadas, no es un salto demasiado grande. Por ejemplo, $x\mapsto \sin x$ está acotado. Ahora, sustituya $\Bbb R$ con un cierto espacio de funciones, y llamar a las funciones que actúan sobre ese espacio "operadores" (podríamos seguir llamándolas funciones pero por razones obvias sería confuso).

Un operador acotado es uno de esos operadores cuyo "tamaño" o "longitud" de las imágenes, pero más técnicamente norma no se permite que crezca demasiado (en cuanto a cómo definir un concepto de "longitud" para los elementos de un espacio de funciones, eso es para otra discusión).

La única distinción que hay que hacer es que no pedimos constantes globales, como es $1$ para la función seno; una constante diferente para diferentes subconjuntos del espacio es suficiente. Un ejemplo de esto en los reales sería $x\mapsto 2x$ que no está acotado globalmente, sino en cada $[x-\varepsilon,x+\varepsilon]$ lo es.

Hay algunas particularidades más, como que "operador acotado" sólo se refiere a lineal operadores en la mayoría de los casos. Además, bueno, debería ser obvio que he presentado algo que está lejos de ser preciso o riguroso. Pretendo que sea un esbozo. Tampoco tengo ni idea de mecánica cuántica ni de cómo se relaciona esto con ella.

Ah, y un sin límites es sólo un operador que no está necesariamente acotado :)

Answer 2

Un operador no limitado (lineal) es aquel que puede producir salidas arbitrariamente grandes a partir de entradas de tamaño limitado.

Un ejemplo es el operador de la derivada. Supongamos que mapeamos funciones polinómicas $f(x)$ a sus derivados $f'(x)$ . Se trata de un operador lineal, es decir, la derivada de $f(x) + g(x)$ es la suma $f'(x) + g'(x)$ de las derivadas respectivas y la derivada de un múltiplo constante $c f(x)$ es el mismo múltiplo $c f'(x)$ de la derivada.

Ahora se pueden utilizar varias "normas" para medir el tamaño de las funciones. Como se trata de polinomios, que son continuos, vamos a medir el tamaño tomando el valor absoluto máximo de $f(x)$ en el intervalo $[0,1]$ :

$$ ||f|| = \max_{x \in [0,1]} |f(x)| $$

Puedes hacer un polinomio $f$ que se "menea" entre $y=+1$ y $y=-1$ un número de veces, digamos $n$ pero nunca es mayor que uno en valor absoluto. Entonces $||f|| = 1$ pero la norma de su derivada $||f'||$ debe ser como mínimo $2n$ . Así que al hacer $n$ grande, se puede obtener una salida arbitrariamente grande (la derivada) a partir de una entrada (el polinomio $f$ ) de tamaño limitado.

La derivada de los polinomios es un operador no limitado con respecto a esta norma.