Cómo reparametrizar curvas en términos de longitud de arco cuando la evaluación de la longitud de arco no puede calcularse analíticamente

Question

Ya se han hecho algunas preguntas sobre este tema, pero mi consulta es ligeramente diferente.

Supongamos que tenemos una curva paramétrica

\begin{equation} x(t) = t \\ y(t) = \tanh(t) \end{equation} para algunos valores de $t$ y tengo que volver a parametrizarlo en términos de longitud de arco. Para reparametrizar en términos de longitud de arco, tenemos que aplicar la fórmula de la longitud de arco, simplificar, expresar el parámetro del tiempo $t$ en términos de longitud de arco $s$ y sustituirlo de nuevo en las ecuaciones paramétricas originales.

Aplicando la fórmula de la longitud de arco se obtiene la integral \begin{equation} \int \sqrt{1+\text{sech}^4(t)} \,\,\mathrm{dt} \end{equation}

Para el ejemplo anterior, no hay forma de integrarlo analíticamente. Wolfram tampoco lo calcula analíticamente. Aunque podemos obtener un valor de toda la longitud de la curva a través de la integración numérica, no es suficiente para utilizarlo para la reparametrización. Así que mi pregunta es, ¿qué hacemos en estos casos? ¿Se puede seguir evaluando la integral por medios avanzados? He tenido que abandonar algunas curvas y seleccionar otras de formas similares, pero siempre he acabado con esas integrales.

Answer 1

Prácticamente no se necesita la parametrización de la longitud de arco de una trayectoria inmersiva $c$ pero $\partial_c$ El derivada con respecto a su longitud de arco definido por $\partial_c:=\dfrac{1}{\|c'\|}\cdot(\dots)'$ . Su definición no depende de la parametrización de la longitud de arco mientras que adquiere un significado analítico simple si lo es, en este caso tenemos $\partial_c f=f'$ (donde $f$ es otro camino definido en el mismo intervalo que $c$ ).