¿Puede usted comprobar esta identidad?

Question

Mostrar que %#% $ #%

Esto puede ser demostrado a través de la expansión, pero existe una solución más elegante

No descubro nada que considero elegante. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Es simplemente el $\ a^3\!+b^3\!-(a\!+\!b)^3=\,-3ab(a\!+\!b)\ $ $\ a,b\, =\, x\!-\!y,\ y\!-\!z$.

Answer 2

Si uno cree que el anillo polinómico en 3 variables es un anillo de factorización única, que es, entonces relativamente fácilmente vemos que ambos lados se desvanecen cuando $x=y$ o $x=z$ o $y=z$. La constante $3$ puede determinarse enchufando $x=0$, $y=1$ y $z=-1$, por ejemplo.

Answer 3

$$ a^3 + b^3 + c^3 - 3 abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab) $$

Tenga en cuenta que es el determinante de M $$ \; = \; \left (\begin{array}{rrr} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matriz} \right), $$ la matriz siendo evidentemente singular cuando $a=b=c$ o $a+b+c=0.$

Mientras tanto, con la evidente posibilidad de permutar las letras, $$ (a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab) = \frac{1}{4} \left( \, (a+b-2c)^2 + 3 (a-b)^2 \, \right) $ $ y por lo tanto es positivo semidefinite, sale a $0$ cuando $a=b=c.$

Answer 4

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$$ $$=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc$$

$$=[(a+b)+c][(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab[(a+b)+c]$$

$$=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]$$

$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

Aunque no se requiere en el actual caso, $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}2$$ which will be zero iff $\displaystyle a-b = b-c = c-a = 0\implies? $