Cuándo una secuencia exacta corta de grupos implica que es isomorfa al grupo producto directo

Question

Supongamos que $1\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow Q\rightarrow 1$ es una secuencia exacta corta de grupos.

Entonces, ¿cuál es una condición (necesaria y )suficiente para $G\cong N\times Q$ .

En otras palabras, que $N$ sea un subgrupo normal de $G$ entonces, ¿cuál es la condición (necesaria y )suficiente para que $G\cong G/N\times N$ .

Answer 1

Para los grupos abelianos (o incluso en cualquier categoría abeliana) se puede utilizar el lema de división:

Propuesta 1. Dejemos que $0 \longrightarrow A' \stackrel{f}\longrightarrow A \stackrel{g}\longrightarrow A'' \longrightarrow 0$ sea una secuencia exacta corta de grupos abelianos. Entonces las siguientes son equivalentes:

(i) Existe un homomorfismo $h \colon A \rightarrow A'$ tal que $h \circ f = \text{id}_{A'}.$

(ii) Existe un homomorfismo $j \colon A'' \rightarrow A$ tal que $g \circ j = \text{id}_{A''}.$

(iii) Tenemos un isomorfismo $h \colon A \rightarrow A' \oplus A''$ , de tal manera que $h \circ f$ es la inclusión natural de $A'$ en la suma directa $A' \oplus A''$ y $g \circ h^{-1}$ es la proyección natural de $A' \oplus A''$ en $A''$ .

Para los grupos no abelianos el lema de división no se cumple en general. Consideremos, por ejemplo, la secuencia exacta corta $1 \longrightarrow A_n \stackrel{\iota}\longrightarrow S_n \stackrel{\text{sgn}}\longrightarrow C_2 \longrightarrow 1$ . Podemos enviar el generador de $C_2$ a cualquier $2$ -para obtener (ii), pero (i) y (iii) no se cumplen.

Permítanme ahora reformular el lema de división para grupos generales:

Propuesta 2. Dejemos que $1 \longrightarrow G' \stackrel{f}\longrightarrow G \stackrel{g}\longrightarrow G'' \longrightarrow 1$ sea una secuencia exacta corta de grupos. Entonces las siguientes son equivalentes:

(i) Existe un homomorfismo $h \colon G \rightarrow G'$ tal que $h \circ f = \text{id}_{G'}.$

(ii) Tenemos que $\alpha \colon G \rightarrow G' \times G''$ , $a \mapsto (h(a),g(a))$ es un isomorfismo.

También puedes conseguir otra versión:

Propuesta 3. Dejemos que $1 \longrightarrow G' \stackrel{f}\longrightarrow G \stackrel{g}\longrightarrow G'' \longrightarrow 1$ sea una secuencia exacta corta de grupos. Entonces las siguientes son equivalentes:

(i) Existe un homomorfismo $j \colon G'' \rightarrow G$ tal que $g \circ j = \text{id}_{G''}.$

(ii) Existe un homomorfismo $\varphi \colon G'' \rightarrow \text{Aut}(G')$ , de tal manera que $\beta \colon G' \rtimes G'' \rightarrow G$ , $(a,b) \mapsto f(a)j(b)$ es un isomorfismo.