Hasta donde yo sé, todas las teorías cuánticas de campo conocidas tienen la misma estructura muy amplia: se da alguna lista finita de datos para especificar un particular QFT, entonces se utiliza algún formalismo para extraer algorítmicamente varios observables físicos a partir de esos datos especificadores. (Supongo que un filósofo podría decir que todo las teorías físicas siguen este mismo patrón básico).
Pero el funcionamiento de este marco general parece muy diferente para los distintos tipos de QFT:
- Una QFT "estándar", basada en el lagrangiano, se especifica mediante una elección particular de la densidad del lagrangiano que contiene sólo términos de interacción renormalizables. Más concretamente, los "datos de entrada" que determinan una teoría son una lista de campos y un conjunto finito de constantes de acoplamiento entre esos campos. Los observables que surgen de este marco son principalmente $n$ -funciones de correlación de los distintos campos. (Aunque no necesariamente todas las funciones de correlación posibles - por ejemplo, para las teorías gauge, sólo las funciones de correlación de las cantidades invariantes gauge son físicamente observables. Estas funciones de correlación no son siempre la "respuesta final"; por ejemplo, podemos introducirlas en la fórmula LSZ para obtener las amplitudes de dispersión. Y a veces podemos querer responder a preguntas que no se responden directamente con las funciones de correlación, por ejemplo, el signo de la función beta o si una teoría concreta experimenta una transición de fase. Pero en principio, las funciones de correlación (directa o indirectamente) determinan todas las cantidades observables).
- Una teoría de campo conforme tiene un aspecto superficial muy diferente. A menudo no escribimos ningún Lagrangiano para una CFT, especialmente cuando trabajamos en el marco del bootstrap conforme. "El conjunto completo de datos y condiciones de consistencia asociados a una CFT no se conoce en general", como se discute aquí . Pero creemos que, al menos para los campos escalares en el espaciotiempo plano, los pesos conformes del campo primario $\Delta_i$ y los coeficientes de expansión del producto del operador $f_{ijk}$ juntos forman suficientes datos de CFT. (Estos datos de la CFT deben respetar ciertas restricciones de consistencia, como la ecuación de simetría de cruce (que asegura la asociatividad del OPE), y la invariancia modular en dos dimensiones. También puede haber otras restricciones de consistencia). Pero al igual que en el caso lagrangiano, los observables que salen del marco son típicamente $n$ -funciones de correlación de puntos.
- Una teoría de campo topológica vuelve a tener un aspecto muy diferente. Hay varias formas diferentes de formular las TQFT: en términos de funtores monoidales simétricos o trenzado fusión categorías o modular tensor categorías (son siete enlaces diferentes). También hay TQFT de tipo Schwarz, que suelen aparecer en la teoría de la materia condensada, y TQFT de tipo Witten, que suelen aparecer en la teoría de la alta energía. La idea básica es que un TQFT es un mapa desde una topología del espaciotiempo a algún número complejo topológicamente invariante. Dependiendo de la formulación específica, los datos iniciales que especifican una elección particular de TQFT pueden ser un conjunto de $f$ símbolos, o $S$ y $T$ matrices, etc., y los "observables" que salen son diversas invariantes topológicas. No suele haber una noción útil de $n$ -funciones de correlación de puntos.
Obviamente, no está nada claro cómo combinar estas tres nociones tan distintas en un único marco conceptual unificador. Tengo dos preguntas relacionadas con las relaciones entre ellas:
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Cuando se utiliza sin calificar, el término "teoría cuántica de campos" suele referirse al formalismo basado en el lagrangiano. A menudo pensamos intuitivamente en los otros dos como casos especiales de éste. Por ejemplo, a menudo pensamos en una CFT como un punto fijo de RG de alguna QFT no conforme, pero rara vez escribimos el lagrangiano de la CFT explícitamente. De hecho, muchas CFT no tienen ninguna descripción lagrangiana conocida. Incluso se sospecha que algunas CFTs, como $(2, 0)$ teoría de campo superconforme en seis dimensiones, no tienen posible descripción lagrangiana, aunque aparentemente hay no hay teorema de no ir probado . De la misma manera, TQFT de tipo Schwarz a menudo se consideran teorías basadas en el lagrangiano cuyos lagrangianos no dependen de la métrica del espaciotiempo. De hecho, tal vez se podría pensar que todas las TQFT de tipo Schwarz son también CFT, ya que la densidad lagrangiana de cualquier TQFT de tipo Schwarz se transforma trivialmente de forma conforme (es decir $g_{\mu \nu}(x) \to \Lambda(x) g_{\mu \nu}(x)$ ) bajo difeomorfismos arbitrarios, ¡ya que la métrica no aparece en absoluto! (Aunque, de nuevo, en la práctica los CFTs y los TQFTs tienen un aspecto muy diferente). Tener cualquiera de las inclusiones que parecen razonables $\text{TQFT} \subset \text{CFT}$ o $\text{CFT} \subset \text{(Lagrangian QFT)}$ (Esta pregunta está relacionada con la este .)
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Haga intenta formalizar matemáticamente la QFT (por ejemplo, el Axiomas de Wightman etc.) tratan de cubrir todos estos tipos de QFT simultáneamente? Si no es así, ¿existe algún marco matemático que las unifique? Tengo entendido que ciertas QFT topológicas se han hecho completamente rigurosas desde el punto de vista matemático, pero se ha avanzado poco en el caso de las QFT basadas en el lagrangiano. No estoy seguro de cuál es el estado de la CFT desde el punto de vista del rigor matemático.
