Dejemos que $f_n$ sea una función integrable y $f_{n}^{+},f_{n}^{-}$ sean sus partes positiva y negativa. ¿Son correctos estos pasos? \begin{align} \int {\sum {f_n}} &=\int{\sum{(f_{n}^{+}-f_{n}^{-})}}\\ &=\int{(\sum{f_{n}^{+}}-\sum{f_{n}^{-}})}\\ &=\int{\sum{f_{n}^{+}}}-\int{\sum{f_{n}^{-}}}\\ &=\sum{\int{f_{n}^{+}}}-\sum{\int{f_{n}^{-}}}\\ &=\sum{(\int{f_{n}^{+}}-\int{f_{n}^{-}})}\\ &=\sum{\int{(f_{n}^{+}}-f_{n}^{-})}\\ &=\sum{\int{f_n}} \end{align} Gracias.
Respuesta
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Los pasos son correctos si ambos
$$\sum \int f_n^+ \quad\text{and } \sum \int f_n^- $$
son finitos.
Si ambos son finitos, las sumas parciales están dominadas por la función integrable $\sum (f_n^+ + f_n^-)$ y salvo en un conjunto nulo se tiene convergencia (incondicional).
Si sólo uno es finito, sin pérdida de generalidad $\sum\int f_n^- < \infty = \sum\int f_n^+$ entonces $\sum \int f_n = \infty$ y $g = \sum f_n$ es una función medible con $\int g^- < \infty = \int g^+$ y con una interpretación adecuada de la aritmética que implica un operando infinito, también es válido.
Si ambas sumas son infinitas, el paso de la primera línea a la segunda no es válido, y en la (tercera y) cuarta línea tienes la forma indeterminada $\infty - \infty$ lo que hace que toda la cadena sea inválida. ( $\int \sum f_n = \sum \int f_n$ puede seguir implicando sólo a entidades bien definidas y mantenerse).
