¿Cuándo un espacio de moduli grueso es también un espacio de moduli fino?

Question

Dado un problema de módulos, parece que la no existencia de automorfismos es una condición necesaria para la existencia de un espacio de módulos fino (¿es esto estrictamente cierto?).

En cualquier caso, asumiendo lo anterior, ¿qué condición adicional sobre un problema de módulos en geometría algebraica asegurará que un espacio de módulos grueso es de hecho un espacio de módulos fino?

En la página de n-lab sobre Deligne-Mumford, aparece lo siguiente.

Las pilas de Deligne-Mumford corresponden a problemas de módulo en los que los objetos parametrizados tienen grupos de automorfismo finitos.

Además, algunos ejemplos problemáticos de los que he oído hablar, tenían grupos de automorfismo infinitos.

Por lo tanto, ¿es cierto que para un problema de módulos en el que la pila es Deligne-Mumford, y donde no hay automorfismos, la existencia de un espacio de módulos grueso implicaría la existencia de un espacio de módulos fino?

Answer 1

Como nadie ha dado todavía una referencia, en mi artículo "Artithmetic moduli of generalized elliptic curves" incluí una prueba de que una pila de Artin cuyos puntos geométricos tienen esquemas de automorfismo triviales es necesariamente un espacio algebraico. Véase allí el teorema 2.2.5(1); estoy seguro de que se trata de un hecho folclórico (que inserté allí porque no conocía una referencia, y para mi sorpresa parece que no se recoge en el libro de L-MB). Así que eso responde a la pregunta original: si el problema de módulos es una pila de Artin y existe un espacio de módulos grueso, entonces es un espacio de módulos fino (lo que significa que el problema de módulos es un espacio algebraico) si y sólo si los objetos sobre campos algebraicamente cerrados tienen esquemas de automorfismo triviales (más fuertes que sólo grupos de automorfismo triviales, excepto en el caso de DM cuando son equivalentes ya que entonces tales grupos son etale).

Escribí ese artículo en los días anteriores a que me diera cuenta de que los espacios algebraicos no qs tenían sentido, así que tuve la convención en todo momento (siguiendo el libro de L-MB) de que las diagonales son separadas y especialmente cuasi-compactas. No he revisado la prueba para ver el efecto de debilitar estos supuestos (especialmente el supuesto q-c) en la diagonal. Debería hacerlo algún día.

Answer 2

Creo que es una pregunta instructiva. He aquí algunas respuestas parciales.

Una categoría fibrada en groupoides cuyas fibras son conjuntos (por ejemplo, sin automorfismos) es un presheaf. En sentido estricto, quiero decir que es equivalente a la categoría fibrada asociada a un presheaf. Esto se deduce realmente de las definiciones, y es un buen ejercicio para hacer cuando uno está aprendiendo la maquinaria básica detrás de los conjuntos. Del mismo modo, una pila que es equivalente a un presheaf es una gavilla (es decir, la condición de descenso colapsa a la condición de gavilla; esto es un poco más difícil pero sigue siendo tautológico). Y una prepila sin automorfismos es una pre gavilla separada.

La otra afirmación es más interesante y no tautológica, y refleja el hecho de que la diagonal de un morfismo de pilas es mucho más interesante que en el caso de los esquemas. Por ejemplo, una pila algebraica es DM si su diagonal es unramificada. (Creo que esto está en Champs Algebriques, pero hay una buena discusión en Anton's notas del curso de pilas de Martin Olsson.

La cuestión es que la diagonal de una pila lleva información sobre los automorfismos de los objetos que parametriza. Así, por ejemplo, la condición (en la definición de una pila) de que la diagonal es representable es equivalente a la afirmación de que Isom(X,Y) (y por tanto Aut(X)) es representable por un espacio algebraico. También es tautológica la afirmación de que la diagonal no ramificada es equivalente a la afirmación de que no hay infinito automorfismos (por ejemplo, automorfismos no triviales de un objeto sobre $k[\epsilon]/\epsilon^2$ que se reducen al mapa de identidad sobre $k$ ). Así que aquí queda claro dónde se utiliza la finitud: el $k[\epsilon]/\epsilon^2$ puntos de un esquema de grupos finitos son los mismos que los $k$ puntos; en cambio, esto falla si el esquema de automorfismo es, digamos, $\mathbf{G}_m$ .

Por último, aunque la respuesta tautológica anterior responde a su pregunta, es instructivo ver cómo los automorfismos provocan $M_g$ (curvas de género g) para no ser representable. Sea H sea una curva hiperelíptica dada por $y^2 = f(x)$ definido sobre un campo $k$ . Entonces la curva $H_d$ dado por $dy^2 = f(x)$ no es isomorfo a $H$ en $k$ si d no es un cuadrado en k. Llamemos a esto un "giro" de H en general los giros de una variedad X vienen dados por el grupo de cohomología de Galois $H^1(G_k,Aut X)$ que es distinto de cero en situaciones no triviales (alternativamente se pueden utilizar los torsores y la cohomología etale), y una curva hiperelíptica genérica tiene grupo de automorfismo $\{\pm 1\}$ . Por lo tanto, H y $H_d$ dar dos diferentes $k$ puntos de $M_g$ que se convierten en el mismo punto sobre una extensión finita; así $M_g$ falla la condición de gavilla en la topología etale, (y por lo tanto en general la existencia de automorfismos causa, por razones cohomológicas, el fracaso de su problema de moduli para ser incluso una gavilla).

Último comentario (para aclarar los comentarios de los demás): el espacio de moduli fino debería permitir ciertamente espacios algebraicos para una respuesta correcta a su pregunta.

Answer 3

Recuerdo que hay un ejemplo debido a Gabber en el libro de Katz y Mazur de un problema de módulos representable en el que los objetos tienen automorfismos (olvido el truco---quizás lo manipuló para que cada objeto tuviera precisamente 2 automorfismos). Pero por otro lado hay teoremas de la forma "un problema de módulos 'razonable' que es representable tiene la propiedad de que los objetos no tienen automorfismos" en la misma página. Si la memoria no me falla, "razonable" en este caso es "relativamente representable sobre la pila de curvas elípticas". No estoy en el trabajo así que no puedo seguir esto y decir algo más preciso.

Entiendo que si tienes una pila D-M y los objetos no tienen automorfismos entonces tienes un espacio algebraico. Pero aquí hay gente que sabe mucho más que yo sobre este tipo de cosas.

Answer 4

Si tu pregunta es "si tengo una pila de Deligne-Mumford en la que todos los puntos tienen grupo de automorfismo trivial, ¿es isomorfa a cualquier espacio de moduli grueso para esa pila?", entonces la respuesta es sí. Como dice Kevin, una pila D-M sin automorfismos es simplemente un espacio algebraico, y el mapa a un espacio de moduli grueso, por definición, es universal entre los mapas a espacios algebraicos.

Si esto parece demasiado fácil, es porque suponer que un determinado problema de módulos tiene una solución dada por una pila D-M es pedir mucho. No es necesariamente algo fácil de demostrar.