Si $\mu^*$ es una medida externa inducida por una medida previa y $E$ es localmente medible, entonces por qué $E$ ¿se puede medir?

Question

Esto es esencialmente el ejercicio 1.21 de la obra de Folland Análisis real que establece lo siguiente: Si $\mu^*$ es una medida externa inducida por una medida previa y $\overline{\mu}$ es la restricción de $\mu^*$ a la $\mu^*$ -conjuntos medibles, entonces $\overline{\mu}$ está saturado.

Definición: Folland dice que una medida $\overline{\mu}$ en un espacio $(X, \mathcal{M})$ está saturado si todo conjunto localmente medible es medible, donde un conjunto $E$ es localmente medible si y sólo si $E \cap A$ es medible para cada $A \in \mathcal{M}$ con $\overline{\mu}(A) < \infty$ .

Tengo problemas para mostrar que cuando $E$ es un conjunto localmente medible con $\mu^*(E) = \infty$ entonces $E$ es medible. (El caso finito no es difícil).

Esto es lo que tengo hasta ahora. Escribe $\mu_0$ para la premeditación, $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)$ para el álgebra en la que $\mu_0$ se define, y $\mathcal{M}$ para la recopilación de todos los $\mu^*$ -conjuntos medibles. Además, dejemos que $\mathcal{A}_{\sigma}$ sea la colección de uniones contables de conjuntos en $\mathcal{A}$ . La pista es utilizar un ejercicio anterior: para cualquier $\varepsilon > 0$ , hay $A \in \mathcal{A}_{\sigma}$ con $E \subset A$ y $\mu^*(A) \leq \mu^*(E) + \varepsilon$ . Así que obtengo $E = \bigcup_{j=1}^{\infty} E \cap A_j$ donde cada $A_j \in \mathcal{A}$ . Entonces quiero utilizar la propiedad localmente medible, pero puede darse el caso de que $\mu_0(A_j) = \infty$ para algunos $j_0$ .

¿Alguna idea? No tenemos ninguna suposición de que $\overline{\mu}$ es $\sigma$ -finito, por ejemplo...

Answer 1

Supongamos que $E$ es un conjunto localmente medible. Basta con demostrar que $$ \mu^*(F)\geq \mu^*(F\cap E)+\mu^*(F\cap E^c)\quad(*) $$ para todos $F\subset X$ con $\mu^*(F)<\infty$ . Así que dejemos $F\subset X$ sea tal y que $\epsilon>0$ . Utilizando el ejercicio anterior, encontramos un $A\in\mathcal{A}_\sigma\subset\mathcal{M}$ con $F\subset A$ y $\mu^*(A)\leq\mu^*(F)+\epsilon$ (así $\mu^*(A)<\infty$ ). Ahora $E\cap A\in\mathcal{M}$ ya que $E$ es localmente medible y $A\in\mathcal{M}$ es tal que $\mu^*(A)<\infty$ . De ello se desprende que $$ \mu^*(A)=\mu^*(A\cap(E\cap A))+\mu^*(A\cap(E\cap A)^c)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c). $$ Desde $F\subset A$ , $$ \mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c)\geq \mu^*(F\cap E)+\mu^*(F\cap E^c). $$ En total, tenemos $$ \mu^*(F)+\epsilon\geq \mu^*(A) \geq \mu^*(F\cap E)+\mu^*(F\cap E^c), $$ y como $\epsilon>0$ era arbitraria, obtenemos $(*)$ .