¿Qué es un mapa de contracción?

Question

Definición: Sea X un espacio métrico, con métrica d. Si $\phi$ mapea X en X y si hay un número $c<1$ tal que $d(\phi(x),\phi(y)) \leq c d(x,y)$ para todos $x,y, \in X$ entonces $\phi$ es una contracción de X en X.

¿Cómo entender intuitivamente la definición de mapa de contracción? ¿Qué significa exactamente la contracción?

Answer 1

Una contracción hace que los puntos se acerquen. En particular, para cada $x\in X$ y cualquier $r>0$ , todos los puntos $y$ en la bola $B_r(x)$ son mapeados en una bola $B_s(\large{\phi} x)$ con $s<r$ como se ilustra en la figura:

Answer 2

Significa que dos puntos cualesquiera $x$ y $y$ de $X$ tener distancia $d$ se envían a dos puntos $\phi(x)$ y $\phi(y)$ tener distancia $d'$ con $d'<d$ De ahí el nombre de contracción.