Estoy tratando de entender la discusión en este libro sobre la fermionización del modelo Ising 2D. La matriz de transferencia para este modelo se convierte en $T = \theta\tilde{\theta}$ donde: $$\theta = e^{\beta \sum_{x}\sigma_{x}^{(1)}\sigma_{x+1}^{(1)}} \quad \mbox{and} \quad \tilde{\theta} = e^{\tilde{\beta}\sum_{x}\sigma_{x}^{(3)}}$$ donde $\sigma^{(i)}_{x}$ son matrices de Pauli en cada $x$ : $$\sigma^{(1)} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^{(2)} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \quad \mbox{and} \quad \sigma^{(3)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ A continuación, se realiza el siguiente cambio de variables: $$\Gamma_{-\frac{1}{2},0} := \sigma_{0}^{(1)} \quad \Gamma_{x-\frac{1}{2},x} := \bigg{(}\prod_{0}^{x-1}\sigma_{x'}^{(3)}\bigg{)}\sigma_{x}^{(1)} \quad (x\ge 1)$$ y: $$\Gamma_{0,\frac{1}{2}} := \sigma_{0}^{(2)} \quad \mbox{and} \quad \Gamma_{x,x+\frac{1}{2}} :=\bigg{(}\prod_{0}^{x-1}\sigma_{x'}^{(3)}\bigg{)}\sigma_{x}^{(2)} \quad (x\ge 1)$$ Después de algunas manipulaciones, obtenemos: $$\theta(\beta) = e^{-i\beta \sum_{x}\Gamma_{x,x+\frac{1}{2}}\Gamma_{x+\frac{1}{2},x+1}} \quad \mbox{and} \quad \tilde{\theta}(\beta) = e^{-i\tilde{\beta}\sum_{x}\Gamma_{x-\frac{1}{2},x}\Gamma_{x,x+\frac{1}{2}}}$$ Por último, un cambio más de variables $\Gamma_{x-\frac{1}{2},x} = a_{x}+a^{\dagger}_{x}$ y $\Gamma_{x,x+\frac{1}{2}} = i(a_{x}-a^{\dagger}_{x})$ conduce a: \begin{eqnarray}\tilde{\theta}(\beta) = e^{\tilde{\beta}\sum_{x}(a^{\dagger}_{x}a_{x}-a_{x}a^{\dagger}_{x})} = \prod_{x}(e^{-\tilde{\beta}}+2\sin\tilde{\beta}a^{\dagger}_{x}a_{x})\tag{1}\label{1}\end{eqnarray}
Luego, el autor afirma:
En consecuencia, utilizando el mismo símbolo, el núcleo integral correspondiente es: \begin{eqnarray}\tilde{\theta}(\tilde{\beta},\tilde{\xi},\xi) = \prod_{x}(e^{-\tilde{\beta}}+2\sin\tilde{\beta}\tilde{\xi}_{x}\xi_{x})e^{\tilde{\xi}_{x}\xi_{x}}\tag{2}\label{2}\end{eqnarray}
Pregunta: Lo que se hace para pasar de ( \ref {1}) a ( \ref {2})? No sigo el razonamiento.
