Suma de series con relación no común

Question

En la siguiente serie:

$ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}n*\frac{1}{2^n}$

He comprobado que la serie converge a 2 buscándola pero ¿cómo se calcularía el sumatorio? No se puede utilizar la fórmula de la suma geométrica porque los términos de la serie no difieren en un cociente común. Seguro que se me escapa algo pero hace tiempo que no hago series. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $$ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, $$ asumiendo que $|x| < 1$ . Entonces tenemos $$ x f'(x) = x \sum_{n = 0}^\infty n x^{n-1} = \sum_{n = 0}^\infty n x^n, $$ pero también $$ x f'(x) = \frac{x}{(1-x)^2}. $$ Así, $$ \sum_{n = 0}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} $$ para todos $|x| < 1$ . En particular, con $x = 1/2$ La serie se suma a 2, como has encontrado.

Answer 2

Cuando se enumeran los términos según el término general dado, introduciendo diferentes valores de $n$ Se trata de una progresión aritmética y geométrica (AGP).

Dejemos que $$S = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}n*\frac{1}{2^n}$$ $$\implies S = \frac12 + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + .....$$

$$\implies \frac{S}{2} = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + $$ [Después de desplazar los términos del lado derecho un lugar a la derecha].

Restando; $$\implies \frac{S}{2} = \frac12 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + ....$$ que da como resultado $$\frac{S}{2} = 1$$
y por lo tanto $$S = 2$$