La diferenciabilidad continua implica la continuidad de Lipschitz

Question

Aquí hay una declaración en la Medida e Integral de Zygmund en la página 17:

Si $f$ tiene una derivada continua en $[a,b]$ entonces (por el teorema del valor medio) $f$ satisface una condición de Lipschitz en $[a,b]$ .

Esto no me parece obvio. ¿Cómo puedo mostrarlo?

Además, ¿qué implica una derivada continua? ¿Podemos concluir que la función es diferenciable? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Por el teorema del valor medio,

$$f(x) - f(y) = f'(\xi)(x-y)$$ para algunos $\xi \in (y,x)$ . Pero como $f'$ es continua y $[a,b]$ es compacto, entonces $f'$ está acotado en ese intervalo, digamos que por $C$ . Así, tomando los valores absolutos se obtiene

$$\lvert f(x) - f(y)\rvert \le C \lvert x-y\rvert$$

Answer 2

Desde $f'$ es continua está acotada en $[a,b]$ . Elija $M\in \Bbb R$ tal que $|f'(x)|\le M$ para todos $x\in [a,b]$ . Si $x,y\in [a,b]$ entonces por la MVT hay $\xi\in [a,b]$ avec $f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y)$ Por lo tanto $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$ . De hecho, se puede demostrar que una función diferenciable en un intervalo abierto (no necesariamente acotado) es continua de Lipschitz si y sólo si tiene una derivada acotada. Esto se debe a que cualquier constante de Lipschitz da un límite a la derivada y, a la inversa, cualquier límite a la derivada da una constante de Lipschitz.

A su otra pregunta: La derivada continua no implica que sea dos veces diferenciable. De hecho, sabemos que hay funciones $f$ (como la función de Weierstrass) que son continuas pero no diferenciables. Tomando la antiderivada $F$ nos da una función diferenciable con derivada $f$ (por el Teorema Fundamental del Cálculo), por lo que tiene una derivada continua, pero como $f$ no es diferenciable, $F$ no es dos veces diferenciable.