Para qué complejo $a,\,b,\,c$ hace $(a^b)^c=a^{bc}$ ¿se mantiene?

Question

Wolfram Mathematica simplifica $(a^b)^c$ a $a^{bc}$ sólo para los reales positivos $a, b$ y $c$ . Ver la salida de W|A .

Anteriormente he estado luchando para entender por qué hace $\dfrac{\log(a^b)}{\log(a)}=b$ y $\log(a^b)=b\log(a)$ no siempre se sostiene (mientras que yo siempre pensaba en los logaritmos de los reales positivos como $\log_a(a^b)=\dfrac{\log(a^b)}{\log(a)}=\dfrac{b\log(a)}{\log(a)}=b$ antes de empezar a estudiar por mi cuenta los complejos), pero luego aprendí sobre el corte de ramas de las multifunciones, de modo que el logaritmo natural puede definirse como una función encontrando primero un conjunto de $w$ para cada $z$ para que $z=e^w$ (exponencial natural inversa), y luego de alguna manera (no importa cómo) seleccionar una solución única $w$ de ese conjunto, de modo que $\forall{z}\exists!{w}$ , dando lugar a una función $z\mapsto{w}$ . Esto da lugar a una especie de discontinuidad en la que las soluciones se están abandonando:

Esto se hace porque las funciones son generalmente más fáciles de tratar que las multifunciones. La convención de Wolfram es definir $\log(z)$ como la inversa de $e^z$ tal que $\log(1)=0$ y tal que la discontinuidad del corte de la rama está en ${(-\infty;0]}$ . Sé que es un poco impopular pensar en el logaritmo natural como una función de un solo valor, pero voy a seguir esta convención (personalmente creo que está bien justificada, al menos es lo que ocurre con $\operatorname{arcsin}$ , $\operatorname{sqrt}$ etc., por lo que, de hecho, me siento cómodo con ello).

Entonces me queda claro por qué es $\dfrac{\log\left((-2)^{-3}\right)}{\log(-2)}\approx{0.814319+0.841574i}\neq{-3}$ , mientras que $-3$ satisface perfectamente la ecuación $(-2)^x=(-2)^{-3}$ .

Dado que $\log(a^b)=b\log(a)$ se mantiene para los reales positivos $a, b$ sólo Pensé en cómo resolvería entonces las ecuaciones de la forma $a^x=b$ , donde $a,b$ son complejos y no necesariamente reales positivos, ya que mi primer paso fue siempre reescribir todo en base $e$ : $$e^{\log(a^x)}=e^{\log(b)}$$ y luego llevar el exponente fuera del logaritmo: $$e^{x\log(a)}=e^{\log(b)}$$ (añadiendo $2\pi i k,\,k\in\mathbb{Z}$ a cualquier exponente y luego eliminando los exponenciales se obtiene el resultado). Así que he preguntado en ##math donde me han señalado que otra forma de reescribir $a^b$ a la base $e$ es utilizar la definición del logaritmo: $a^b=(a)^b=(e^{\log(a)})^b=e^{b\log(a)}$ . Yo estaba contento con eso (e incluso resolví un $(-2)^x=-3$ para $x$ Sólo para divertirse usando este enfoque, vea aquí ) pero algún tiempo después me he dado cuenta de que esto tampoco funciona para los complejos arbitrarios $a$ y $b$ ¡! $$1=1^{1/2}=((-1)^2)^{1/2}=(-1)^{2\cdot\frac{1}{2}}=(-1)^1=-1$$ La norma $(a^b)^c$ como me dijo W|A, requiere $a, b, c$ sean reales positivos. Cuando señalé eso en ##math Me dijeron que $a^b=e^{b\log(a)}$ es por definición de la exponenciación compleja. Lo he comprobado y Wolfram Mathematica está de acuerdo con esta identidad. Demasiado bueno. Pero entonces me di cuenta de que algo no debe ser cierto:

• $(a^b)^c=a^{bc}$ tiene sólo para un real positivo $a,b,c$
• $\forall{a,b\in\mathbb{C}}:a^b=e^{b\log(a)}$
• $\forall{a\in\mathbb{C}}:a=e^{log(a)}$

Esta última es la definición del logaritmo, por lo que debería ser cierta. La segunda también debe ser cierta, de lo contrario no sé cómo resolver ecuaciones. Por lo tanto: $$a^c=e^{c\log(a)}$$ es por la definición de exponenciación compleja, tal como me dijeron. Entonces, reescribiendo $a$ en el LHS utilizando la definición de logaritmo: $$a=e^{log(a)}$$ $$\left(e^{log(a)}\right)^c=e^{c\log(a)}$$ Ahora bien, dado que para cada complejo $b$ existe un $z$ tal que $b=\log(z)$ podemos reescribir $\log(a)=b$ : $$(e^b)^c=e^{bc}$$ para todos los complejos $b,c$ ¡! Entonces, ¿qué es eso?

¿Me he equivocado? ¿O es la base $a=e$ ¿tan especial?

O es que (sospecho) sólo hay que exigir $a$ para ser real positivo, y $b,c$ ¿son de hecho irrelevantes? $$\forall{a}\in\mathbb{R}\forall{b,c}\in\mathbb{C}:a>0\implies{(a^b)^c=a^{bc}}$$ ¿He encontrado un error en Mathematica y W|A o he cometido un enorme y estúpido error que me ha llevado a un drástico malentendido?

P. S. Este es mi primer post en MSE, no soy un experto en matemáticas, sólo un aficionado, así que lo siento si estoy luchando en lo básico aquí. También lo siento por mi inglés: no es mi lengua materna.

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Editar: gracias @Andrew por tu respuesta.

$\forall{a,b,c}:-\pi<\Im(b\log(a))\leq\pi\implies(a^b)^c=a^{bc}$

Muy claro y sencillo, funciona a la perfección.

Pero parece que aunque la implicación es obviamente cierta, hay más casos (léase "valores de $a,\,b,\,c$ ") a partir de la cual $(a^b)^c=a^{bc}$ sí se sigue, es decir, he comprobado que es cierto para $c\in\mathbb{Z}$ y un complejo arbitrario $a,\,b$ por ejemplo:

$$\big((-2)^{-3}\big)^{-2}=(-2)^{(-3)\times(-2)};$$ $$\left(\frac{1}{(-2)^3}\right)^{-2}=(-2)^{6};$$ $$\left(-\frac{1}{8}\right)^{-2}=64;$$ $$\left(-8\right)^2=64;$$ $$64=64.$$

Para este caso, $b\log(a)=-3\log(-2)=-3(\log(2)+i\pi)=-3\log(2)-3i\pi$ y por lo tanto $\Im(-3\log(2)-3i\pi)=-3\pi\notin{({-\pi;\pi}]}$ Por lo tanto, la implicación de @Andrew no cubre todos los casos.

Entonces, ¿hay más soluciones de $(a^b)^c=a^{bc}$ ?

Answer 1

Si estamos de acuerdo $\log z$ tiene una parte imaginaria entre $-\pi$ y $\pi$ y se define sólo en el conjunto $D = \mathbf{C} \setminus(-\infty, 0]$ entonces $$\begin{align*} \exp(\log z) &= z\quad\text{for all $z$ in $D$,} \\ \log(\exp z) &= z\quad\text{for all $z$ with imaginary part between $-\pi$ and $\pi$.} \end{align*}$$ Si la parte imaginaria de $z$ está entre $(2k - 1)\pi$ y $(2k + 1)\pi$ entonces $$\log(\exp z) = z - 2\pi ki \tag{1}$$ porque $z - 2\pi ki$ tiene una parte imaginaria entre $-\pi$ y $\pi$ .

Definición de $a^{b} = \exp(b \log a)$ tenemos $$\begin{align*} (a^{b})^{c} &= \exp\bigl(c \log(a^{b})\bigr) = \exp\bigl(c \log [\exp (b \log a)]\bigr), \\ a^{bc} &= \exp(bc \log a). \end{align*}$$

Si $b \log a$ tiene una parte imaginaria entre $(2k - 1)\pi$ y $(2k + 1)\pi$ entonces $\log\bigl(\exp(b \log a)\bigr) = b \log a - 2\pi ki$ por (1), por lo que $$\exp\bigl(c \log(a^{b})\bigr) = \exp\bigl(c(b \log a - 2\pi ki)\bigr) = \exp(bc \log a) \exp(-2\pi cki),$$ que es igual a $a^{bc}$ si y sólo si $\exp(2\pi cki) = 1$ .

En particular, si $b \log a$ tiene una parte imaginaria entre $-\pi$ y $\pi$ (es decir, $k = 0$ ), o si $c$ es un número entero, entonces $$(a^{b})^{c} = \exp\bigl(c \log(a^{b})\bigr) = \exp\bigl(c \log(\exp b \log a)\bigr) = \exp(bc \log a) = a^{bc}.$$

Answer 2

Este es un post tardío. Pero para que quede claro para los futuros lectores, el error en su pregunta está aquí:

... para cada complejo $b$ existe un $z$ tal que $b=\log(z)$ , ...

Esto es falso ya que ha elegido $\log$ para ser una función, y no se puede elegir tener ambos $\log(1) = 0$ y $\log(1) = 2i$ lo que implica que, o bien $0$ o $2i$ se no sea un posible valor de $\log$ desde $\exp(0) = 1 = \exp(2i)$ . Por decirlo de forma algebraica, no puede ser que tengamos tanto $\log(z) = b$ y $\log(w) = b+2i$ para algún complejo $b,z,w$ Si no es así $z = \exp(b) = \exp(b+2i) = w$ y por lo tanto $\log(z) = \log(w)$ , contradiciendo $b \ne b+2i$ .