¿Son sumables las funciones de masa iniciales?

Question

Traté de resumir dos rangos de peso del FMI que no no funcionaría así que mi pregunta es, si estoy haciendo algo mal.

Digamos que mis rangos de peso son $\left[X M_{\mbox{sun}}, Y M_{\mbox{sun}}\right)$ y $\left[Y M_{\mbox{sun}}, Z M_{\mbox{sun}}\right)$ .

Para ambos rangos el número de estrellas en un espacio determinado son

$\xi_{[X,Y)} = \xi_0 X^{-\alpha}\left(Y-X\right)$ y

$\xi_{[Y,Z)} = \xi_0 Y^{-\alpha}\left(Z-Y\right)$

que debería sumar

$\xi_{[X,Z)} = \xi_0 X^{-\alpha}\left(Z-X\right)$

pero obviamente

$\xi_0 X^{-\alpha}\left(Y-X\right) + \xi_0 Y^{-\alpha}\left(Z-Y\right) \neq \xi_0 X^{-\alpha}\left(Z-X\right)$ como

$X^{-\alpha}\left(Y-X\right) + Y^{-\alpha}\left(Z-Y\right) \neq X^{-\alpha}\left(Z-X\right)$

$X^{-\alpha} Y + Y^{-\alpha}\left(Z-Y\right) \neq X^{-\alpha}Z$

$Y^{-\alpha}\left(Z-Y\right) \neq X^{-\alpha}\cdot \left(Z-Y\right)$

$Y^{-\alpha} \neq X^{-\alpha}$ (si $Y \neq X$ )

Answer 1

Se trata de una integral, el número de estrellas de masa entre $XM_{SUN}$ y $YM_{SUN}$ es :

$N(XM_{SUN} \to YM_{SUN}) = \int_{XM_{SUN}}^{YM_{SUN}} \xi_0 (\frac{m}{M_{SUN}})^{-\alpha} \frac{dm}{M_{SUN}} = \int_X^Y \xi_0 (m')^{-\alpha} dm'$

Así, queda claro que, con las propiedades aditivas de la integral, tenemos :

$N(XM_{SUN} \to ZM_{SUN}) = N(XM_{SUN} \to YM_{SUN}) + N(YM_{SUN} \to ZM_{SUN})$