Demuestra que el compuesto de dos funtores continuos es continuo

Question

Demuestra que el compuesto de dos funtores continuos es continuo

No estoy seguro de entender lo que se pide.

Un functor $H: C \rightarrow D$ es continua si preserva todos los límites pequeños de un functor $F:J \rightarrow C$ lo que significa esencialmente $H v: Ha \rightarrow HF$ es un cono límite para todos los $v$ conos limitadores de $F$ donde $J$ es pequeño.

¿Pero qué es lo que estoy tratando de probar específicamente en esto? Si $H$ conserva para $F$ y $H'$ conserva para $F'$ entonces estoy tratando de encontrar un $F''$ que es preservado por $H'H$ ?

Answer 1

No. Lo que debe probar es que si $H:C\to D$ y $H':D\to E$ son continuos, entonces también lo son $H'H:C\to E$ . De hecho se puede demostrar algo más preciso : si $H$ y $H'$ preservar los límites de todos los funtores de una categoría pequeña fija $J$ entonces también lo hace $H'H$ (así, por ejemplo, la composición de dos funtores que preservan los productos preserva los productos).