Casi totalmente irrelevante para la pregunta
Que el Medio- $\alpha$ Que el conjunto de Cantor sea cerrado es fácil ya que es la intersección de conjuntos cerrados.
El resto será un esquema bastante amplio, y hay algunos detalles que completar. Dejemos que $C$ denotan el Medio- $\alpha$ Conjunto de Cantor, y que $x \in C$ sea arbitraria. Tenemos que demostrar que para todo $\epsilon > 0$ hay un $y \in C \cap ( x - \epsilon , x + \epsilon )$ distinto de $x$ .
Tenga en cuenta que debe haber un $n$ tal que el único intervalo cerrado que contiene $x$ en el $n$ de la construcción de $C$ está totalmente contenida en el $( x - \epsilon , x + \epsilon )$ . (¿Recuerdas que dije que faltaban algunos detalles? Aquí es donde irían. Hay que determinar las longitudes de los intervalos en cada etapa de la construcción, pero no es excesivamente difícil). Tenga en cuenta que los puntos finales de este intervalo serán elementos de $C$ y (al menos) uno de ellos es distinto de $x$ . Es evidente que cada punto final de $I$ es un punto final de $I_0$ o $I_1$ .
Tal vez sea ligeramente relevante para la pregunta
Creo que tu problema podría reducirse a cuestiones de anotación. Tal vez una mejor manera de atacar este problema es determinar los puntos finales del medio abierto- $\alpha$ intervalo eliminado dado un intervalo cerrado arbitrario $[a,b]$ . Un cálculo relativamente sencillo muestra que este intervalo abierto es $\left( \frac{(b-a)(1-\alpha)}{2} , \frac{(b-a)(1+\alpha)}{2}\right)$ lo que significa que los subintervalos restantes son $\left[ a , \frac{(b-a)(1-\alpha)}{2} \right]$ y $\left[ \frac{(b-a)(1+\alpha)}{2} , b \right]$ . A partir de aquí el resultado que buscas es fácil.
Tal y como está, sus funciones $T_0$ y $T_1$ parecen mezclar realmente los intervalos, y hará que sea bastante difícil encontrar para cada intervalo que queda en el $(n+1)$ a etapa cuyo intervalo es el de la $n$ de la etapa lo generó. (Habría que jugar con la forma en que interactúan, y se podría llegar a una fórmula, pero no será bonita).
