Encuentra el número natural más grande $n$ para el cual $50\lfloor x\rfloor-\lfloor x\lfloor x\rfloor \rfloor=100n-27\lceil x\rceil$ tiene una solución real para $x$.

Question

Encuentra el número natural más grande $n$ para el cual $$50\lfloor x\rfloor-\lfloor x\lfloor x\rfloor \rfloor=100n-27\lceil x\rceil$$ tiene una solución real para $x$.

Intenté tomando $x=a+r, 0\le r<1.$

Obtenemos $$50a-\lfloor (a+r)a\rfloor= 100n-27(a+1)$$

$$\implies 50a-a^2-\lfloor ra\rfloor= 100n-27(a+1)$$

$$\implies 100n+a^2+\lfloor ra\rfloor-27=77a$$

Esto es un cuadrático en $a,$ así que obtenemos que $$a^2-77a-27+100n+\lfloor ra\rfloor=0\implies 77^2-4\cdot (27+100n+\cdot\lfloor ra\rfloor )\text{ es cuadrado } $$

Por lo tanto $$ 4\cdot (27+100n+\lfloor ra\rfloor) \le 77^2$$

Entonces $4\cdot (27+100n+\lfloor ra\rfloor) \le 77^2\implies n\le 58.$

No puedo avanzar después de esto.

Answer 1

Esta respuesta asume que tu $a$ es un número entero.

Obtenemos $$50a-\lfloor (a+r)a\rfloor= 100n-27(a+1)$$

Observa que $\lceil x\rceil=a+1$ solo se cumple cuando $x$ no es un entero.

Si $x$ es un entero, entonces dado que $\lceil x\rceil=a$, se tiene $$50a-a^2=100n-27a\implies a^2-77a+100n=0$$ Considerando el discriminante, $D=(-77)^2-400n\geqslant 0\implies n\leqslant 14$.

Si $x$ no es un entero, como hiciste, dado que $\lceil x\rceil=a+1$, tenemos $$100n+a^2+\lfloor ra\rfloor-27=77a$$

Esta es una ecuación cuadrática en $a$

No, no lo es dado que tiene $\lfloor ra\rfloor$.

• Si $a=0$, entonces $n=\frac{27}{100}\not\in\mathbb N$.

• Si $a\lt 0$, entonces se tiene $$-a^2+77a-100n+27=\lfloor ra\rfloor\geqslant a\implies a^2-76a+100n-27\leqslant 0$$ Aquí, es necesario que $(-76)^2-4(100n-27)\geqslant 0$ lo cual implica $n\leqslant 14$.

• Si $a\gt 0$, entonces se tiene $$-a^2+77a-100n+27=\lfloor ra\rfloor\geqslant 0\implies a^2-77a+100n-27\leqslant 0$$ Aquí, es necesario que $(-77)^2-4(100n-27)\geqslant 0$ lo cual implica $n\leqslant 15$. Para $n=15$, se tiene $36\leqslant a\leqslant 41$. Para $a=36$, se tiene $3=\lfloor 36r\rfloor$, por lo que la ecuación tiene una solución $x=36+\frac{1}{12}$.

Por lo tanto, la respuesta es $\color{red}{n=15}$.

Answer 2

Dado que estás buscando un máximo $n$, quieres analizar:

$$77a + 27 -a^2 - \lfloor ra \rfloor = 100n$$

Por lo tanto, quieres maximizar el lado izquierdo para hacerlo lo más grande posible múltiplo de 100. El valor más pequeño que puede tener $\lfloor ra \rfloor$ es $0$ cuando $r=0$, por lo que el lado izquierdo no puede ser más de lo que se toma con un valor de $a$ de:

$$\dfrac{\rm d (77a + 27 - a^2 - 0)}{\rm da} = 0 $$

Una vez que encuentres $a$, solo tienes que encontrar el valor de $r$ que te coloque exactamente en un múltiplo de 100, o realmente solo demostrar que existe, ya sea que lo encuentres o no.