La versión de libro de texto del resultado que he visto dice: Un espacio de Hausdorff localmente compacto y segundo contable es paracompacto. Es necesaria la propiedad de ser segundo contable, o me he perdido algo?
Mi opinión:
Si el espacio es localmente compacto, cada punto tiene una vecindad compacta.
Para esta vecindad compacta cada cobertura tiene una subcubierta finita.
La subcubierta finita es un refinamiento localmente finito.
Gracias de antemano.
En general, las hipótesis son exageradas, pero no se puede omitir ninguna de ellas. Matt Samuel ya ha puesto el ejemplo de la larga cola para demostrar que no se puede omitir la segunda contabilidad.
El topología de punto particular en un conjunto contablemente infinito $X$ es no Hausdorff, localmente compacto y segundo contable - si $p$ es el punto concreto, $\mathscr{B}=\big\{\{p,x\}:x\in X\big\}$ es una base contable para la topología - y no es paracompacta, ya que la cubierta abierta $\mathscr{B}$ no tiene ningún refinamiento abierto que sea localmente finito en $p$ . Esto demuestra que no se puede omitir la Hausdorffness.
Para ver que no se puede omitir la compacidad local, dejemos que
$$\begin{align*} D&=\left\{\left\langle\frac1m,\frac1n\right\rangle:m,n\in\Bbb Z^+\right\}\;,\\\\ H&=\left\{\left\langle\frac1m,0\right\rangle:m\in\Bbb Z^+\right\}\;,\text{ and}\\\\ X&=\{\langle 0,0\rangle\}\cup H\cup D\;. \end{align*}$$
Puntos de $D$ están aislados. Para $m,n\in\Bbb Z^+$ dejar $x_m=\left\langle\frac1m,0\right\rangle$ y $y_{m,n}=\left\langle\frac1m,\frac1n\right\rangle$ y definir
$$B_n(x_m)=\{x_m\}\cup\{y_{m,k}:k\ge n\}\;;$$
$\{B_n(x_m):n\in\Bbb Z^+\}$ es una base local en $x_m$ . (En otras palabras, la secuencia $\langle y_{m,n}:n\in\Bbb Z^+\rangle$ converge a $x_m$ .) Sea $p=\langle 0,0\rangle$ y para $n\in\Bbb Z^+$ dejar
$$B_m(p)=\{y_{k,n}:k\ge m\}\;;$$
$\{B_m(p):m\in\Bbb Z^+\}$ es una base local en $p$ . Con esta topología $X$ es Hausdorff y segundo contable, pero no es localmente compacto en $p$ . Tampoco es paracompacto: la tapa abierta
$$\mathscr{U}=\{B_1(p)\}\cup\{B_1(x_n):n\in\Bbb Z^+\}$$
no tiene ningún refinamiento abierto que sea localmente finito en $p$ .
La única función real que cumple la compacidad local es hacer que el espacio sea regular: todo espacio de Hausdorff localmente compacto es regular. Si exigimos que el espacio sea regular y de Hausdorff, podemos abandonar la suposición de compacidad local, porque todo segundo espacio contable es de Lindelöf, y todo $T_3$ El espacio de Lindelöf es paracompacto. La segunda contabilidad es, por supuesto, mucho más fuerte que la propiedad de Lindelöf, por lo que este teorema es en realidad una versión débil del teorema de que un $T_3$ El espacio de Lindelöf es paracompacto.
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