¿Qué gcd polinómico es "correcto"? [normalización unitaria de GCDs]

Question

Encuentra el gcd de $x^4-2x^3-x+3$ et $x^2-1.$

Nota: Estoy utilizando $a=bq+r$

Primera aproximación:

$$ \begin{align*} x^4-2x^3-x+3&=(x^2-1)(x^2-2x+1)+(4x+4)\\ x^2-1&=(4x+4)(2x-2)+0 \end{align*} $$ Por lo tanto, $\text{gcd}(x^4-2x^3-x+3,\:x^2-1)=x+1.$

Segundo enfoque:

$$ \begin{align*} x^4+5x^3+6x+3&=(x^2+6)(x^2-5x-6)+(4x+4)\\ x^2+6&=(4x+4)(2x+5)+0 \end{align*} $$ Por lo tanto, $\text{gcd}(x^4+5x^3+6x+3,\:x^2+6)=x+1.$

En el primer enfoque utilicé los polinomios dados mientras que en el segundo enfoque utilicé primero $\text{mod}\:7$ para cambiar los negativos por positivos y luego proceder al cálculo.

Para ambos enfoques, los restos mostrados están en $\text{mod}\:7$ es decir en la primera aproximación el resto es realmente $-3x+4$ y en el segundo su $-24x+39.$

¿Cuál es el enfoque correcto para resolver estos problemas? Si es importante, ¿por qué? Además, suponiendo que utilizara el primer enfoque, ¿la respuesta final sería $-3x+4$ , $4x+4$ o $x+1$ ?

Answer 1

Al calcular en anillos cotizantes (o, equivalentemente, con congruencias de anillos), disfrutamos de la libertad de elegir cualquier representante de una clase de equivalencia, por ejemplo $\bmod 7\!:\ 8^n\equiv 1^n\equiv 1$ es más simple eligiendo el rep $1$ contra. $8$ de $\,8+7\Bbb Z.\,$ Así que en su cálculo de gcd podemos elegir las reps de los coeficientes como queramos. Normalmente las reps de menor magnitud dan una aritmética más sencilla, aquí $\,0,\pm1,\pm2,\pm3\,$ para $\,\Bbb Z/7.$

En los dominios generales, gcds y lcms se definen sólo hasta los asociados, es decir, hasta factores unitarios (invertibles). Para los números enteros las unidades son $\pm1\,$ y normalizamos un gcd $\,g\neq 0$ eligiendo la opción positiva de $\pm g.\,$ Para polinomios sobre un campo las unidades son todos los coef's $\,c\neq 0.\,$ De ahí que los asociados de $\,g\neq 0\,$ son sus múltiplos constantes $\,cg\neq 0.\,$ La convención de normalización estándar en este caso es elegir el representante que es monic (coef. de plomo $= 1),\,$ es decir, si $\,0 \neq g\,$ tiene coef. de plomo $\,a\,$ entonces normalizar la unidad a la monic $\,a^{-1} g,\,$ por ejemplo, su gcd $\,g = -3x\!-\!3\,$ veces $\,(-3)^{-1}$ rinde $\,x+1\,$ como su rep normalizado unitario.

Merece la pena destacar que podemos calcular su gcd de forma más sencilla. Obsérvese que $\,x^2-1 = (x\!-\!1)(x\!+\!1)\,$ es un producto de los no asociados primos por lo tanto $\,\gcd(f,(x\!-\!1)(x\!+\!1)) = \gcd(f,x\!-\!1)\gcd(f,x\!+\!1).\,$ Además $\, g := \gcd(f,x\!-\!a) = x\!-\!a\,$ si $\,f(a)=0\,$ si no $\,g = 1,\,$ por el Teorema del Factor. Por lo tanto, el gcd en tu ejemplo es $\,x\!+\!1\,$ porque $\,f(-1)\equiv 0\,$ pero $f(1)\not\equiv 0\pmod{\!7}$ .