Ecuación de Voltera

Question

Consideremos la ecuación integral de Voltera: $$(x)=e^{-x}\cos(x)-\int_{0}^{x}e^{-(x-t)}\cos(x)(t)dt$$

¿Cómo puedo resolver esta ecuación convirtiéndola en una ecuación diferencial? La solución es $$\psi(x)=\frac{\cos(x)}{e^{x+\sin(x)}}$$ Es decir $$\psi(x)=\cos(x)e^{-(x+\sin(x))}$$

Answer 1

$$ψ(x)=e^{-x}\cos(x)-\int_{0}^{x}e^{-(x-t)}\cos(x)ψ(t)dt$$ $$\frac{e^x ψ(x)}{\cos(x)}=1-\int_{0}^{x}e^{t}ψ(t)dt$$ $$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x ψ(x)}{\cos(x)}\right)=-e^{x}ψ(x)$$ $$\frac{e^x ψ}{\cos(x)}+\frac{e^x\sin(x) ψ}{\cos^2(x)}+\frac{e^x ψ'}{\cos(x)}=-e^{x}ψ$$ $$\frac{ψ'}{ψ}=-\cos(x)-\frac{\sin(x) }{\cos(x)}-1$$ $$\ln|ψ|=-\sin(x)+\ln|\cos(x)|-x+\text{constant}$$ $$ψ(x)=c\:\cos(x)e^{-\sin(x)-x}$$ $$\frac{e^x (c\:\cos(x)e^{-\sin(x)-x})}{\cos(x)}=1-\int_{0}^{x}e^{t}(c\:\cos(t)e^{-\sin(t)-t})dt$$ $$c\: e^{-\sin(x)}=1-c\int_{0}^{x} \cos(t)e^{-\sin(t)}dt=1-c(-e^{\sin(x)}+1)\quad\implies\quad c=1$$ $$ψ(x)=\cos(x)e^{-\sin(x)-x}$$