Propósito de la adición de una constante después de la integración de una función

Question

Me gustaría saber el propósito de la adición de una constante denominada constante de integración cada vez que integrar una integral indefinida $\int f(x)dx$. Soy consciente de que esta constante "desaparece" cuando la evaluación de la integral definida,$\int_{a}^{b}f(x)dx $. Lo que tiene que la constante tiene que ver con algo? ¿Por qué es denominado como la constante de integración? ¿De dónde provienen?

La motivación para hacer esta pregunta en realidad proviene de la solución de una ecuación diferencial $$x \frac{dy}{dx} = 5x^3 + 4$$ By separation of $dy$ and $dx$ and integrating both sides, $$\int dy = \int\left(5x^2 + \frac{4}{x}\right)dx$$ yields $$y = \frac{5x^3}{3} + 4 \ln(x) + C .$$

He entendido que $\int dy$ representa la adición de infinitesimales cantidad de $dy$'s rendimiento $y$ pero soy dudoso acerca de la constante arbitraria $C$.

Answer 1

El concepto clave a tener en cuenta aquí es que cuando diferenciar una constante de obtener 0, esto es debido al hecho de que la pendiente de la recta tangente a una función constante, decir $f(x) = 4$, será simplemente una línea horizontal que abarca el eje de las x con una pendiente de cero en todas partes.

Cuando diferenciar una función en particular que tiene una constante en la final, decir $f(x) = x^2 +2x +4$ conseguir $f'(x) = 2x +2$, dispone de ninguna manera, sólo el derivado $f'(x)$, para recuperar la "constante de la información" acerca de la función original.

Esta es precisamente la razón por la que usted tiene que tener una pendiente de la representación en el campo de la anti-derivada de una función. Cuando se integra una función en particular, debe agregar que $+C$ porque se dice que, la anti-derivada de la función podría ser uno de cualquiera de la pendiente de las líneas de campo en $\mathbb{R}^2$. El valor determinado para $C$ se derrumba a exactamente uno de estos de la pendiente de las líneas de campo. Aquí es una representación gráfica de un campo pendiente y en concreto tres valores de $C$ que sacar la púrpura funciones. La pendiente campo de la anti-derivada está dada por: $$ \int \cos(x) dx = \sin(x) +C$$

Los tres púrpura funciones de dibujado a cabo son: $$f(x) = \sin(x) -2$$ $$f(x) = \sin(x) + 0$$ $$f(x) = \sin(x) +2 $$

También puede tener más sentido cuando se toma una de ecuaciones diferenciales, pero esta debe ser una explicación suficiente.

Answer 2

La integral indefinida $\int f(x)dx$ es la función de $F(x)$ tal que $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$. El problema es que hay varios (de hecho infinitamente muchos) tales funciones $F(x)$. No podemos permitir que la expresión de $\int f(x)dx$ para referirse a múltiples funciones, por lo que para evitar esto se introduce la constante de integración $C$. Esto soluciona las cosas, porque a pesar de que hay infinidad de $F(x)$ tal que $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$, si tomamos cualquier función $F(x)$, entonces todas las soluciones a $\frac{d}{dx}G(x) = f(x)$ son de la forma $G(x) = F(x) + C$ para un cierto valor de $C$, mientras que para cualquier valor de $C$ la función de $F(x)+C$ satisface $\frac{d}{dx}(F(x)+C) = f(x)$. Por lo tanto podemos decir $\int f(x)dx = F(x) + C$.

Answer 3

La integral indefinida $\int f(x) dx$ denota, en este contexto, el conjunto de todas las primitivas de $f(x)$. Si encuentra una primitiva, decir $F(x)$, entonces Conoces otras primitivas tienen la forma $F(x) + C$, donde $C$ es cualquier constante. Esto es lo que queremos decir cuando escribimos $\int f(x) dx = F(x) + C$: el conjunto de todas las primitivas de $f(x)$ es el conjunto de todas las funciones de la forma $F(x) + C$.

Answer 4

A veces usted necesita saber todos los antiderivatives de una función, en lugar de sólo una antiderivada. Por ejemplo, supongamos que usted es la solución de la ecuación diferencial $$ y'=-4y $$ y hay una condición inicial $y(0)=5$. Usted obtener $$ \frac{dy}{dx}=-4y $$ $$ \frac{dy}{y} = -4\;dx $$ $$ \int\frac{dy}{y} = \int -4\;dx $$ $$ \log_e y = -4x + C. $$ Aquí usted se ha añadido una constante. Entonces $$ y = e^{-4x+C} =e^{-4x}e^C $$ $$ 5=y(0)= e^{-4\cdot0}e^C = e^C $$ Así $$ y=5e^{-4x}. $$

(Y, a veces, sólo necesita una antiderivada, no todos de ellos. Por ejemplo, en la integración por partes, usted puede tener $dv=\cos x\;dx$, y a la conclusión de que $v=\sin x$.)

Answer 5

La integral indefinida $\int f(x)\,dx$ se define como la general de la clase de las funciones cuyas derivadas son $f(x)$.

Ahora, dada cualquier función de $F$$F'=f$, se deduce que el $F+C$ también es una antiderivada de $f$: $$ (F+C)'=F'+C'=F'+0=F'=f. $$ Por el contrario si $G$ es una antiderivada de $f$, $G$ tiene la forma $F+C$ para algunas constantes $C$.

Por eso escribimos, por ejemplo: $$ \etiqueta{1} \int x^2\,dx={x^3\más de 3}+C. $$ La derivada de ${x^3\over 3}+C$$x^2$. Por otra parte, si $F'(x)=x^2$, $F$ debe tener la forma $F(x)={x^3\over3}+C$.

Así, la antiderivada general de $f(x)=x^2$ tiene la forma $F(x)={x^3\over3}+C$, y la ecuación (1) es sólo indicando este hecho.

La ecuación diferencial que usted está considerando tiene más de una solución. La solución general es como que usted tiene, con el parámetro arbitrario $C$. No pertenecen allí. Cualquier función de esa forma, será una solución de la ecuación.

Si te han dado un valor inicial el problema en el que, dicen, es necesaria una $y(1)=2$, luego de que la constante de $C$ podría ser determinado.