A continuación, trabajaremos con la siguiente definición de casco convexo de un conjunto $B$ en un espacio vectorial $V$ :
Def :
Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial, y sea $B \subseteq V$ . $P \subseteq V$ se llama casco convexo de $B$ si $P$ es un conjunto convexo tal que
- $B \subseteq P$
- para todos los conjuntos convexos $Q \subseteq V$ tal que $B \subseteq Q$ tenemos $P \subseteq Q$
Bien, ahora empecemos con las pruebas formales.
Primer casco convexo
Demostramos que el conjunto
$$ A_1 := \{(x, y) \in \mathbb R^2 \big| x, y \ge 0 \wedge |x| + |y| \le 1\} $$
es el casco convexo del conjunto $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$ . Así que, en primer lugar, observamos que $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\} \subseteq A_1$ . En segundo lugar, observamos que $A_1$ es convexo, ya que para cualquier $(x, y), (z, w) \in A_1$ et $\lambda \in [0, 1]$ tenemos
$$ \lambda x + (1 - \lambda) z, \lambda y + (1 - \lambda) w \ge 0 $$ y
$$ |\lambda x + (1 - \lambda) z| + |\lambda y + (1 - \lambda) w| \le \lambda(|x| + |y|) + (1 - \lambda) (|z| + |w|) \le 1 $$
En tercer lugar, dejemos que $Q$ sea cualquier conjunto convexo que contenga $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$ . Demostramos que cada elemento de $A_1$ está en $Q$ . Por lo tanto $(x, y) \in A_1$ sea arbitraria. Entonces tenemos $|x| + |y| \le 1$ et $|x| = x$ , $|y| = y$ . Por lo tanto, los dos elementos $(0, |x| + |y|)$ et $(|x| + |y|, 0)$ también están contenidas en $Q$ como una combinación convexa de $(0, 1)$ et $(0,0)$ ou $(0, 1)$ et $(0,0)$ respectivamente. Ahora bien, cualquiera de los dos $x = y = 0$ y por lo tanto de $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\} \subset Q$ sigue automáticamente $(x, y) \in Q$ o elegimos $\lambda = \frac{x}{x + y} \in [0, 1]$ y encontrar
$$ \begin{align} \lambda(|x| + |y|) & = x \\ (1 - \lambda)(|x| + |y|) & = y \\ \end{align} $$
por lo que $(x, y) \in Q$ , como $Q$ se supone que es convexo. $\Box$
Segundo casco convexo
Porque $\mathbb Q \subset \mathbb R$ se deduce que $\mathbb Q^2 \subset \mathbb R^2$ . Además, como $\mathbb R^2$ es un espacio vectorial, es convexo. Ahora dejemos que $Q$ sea un superconjunto convexo arbitrario de $\mathbb Q^2$ . Demostramos que $\mathbb R^2 \subseteq Q$ . Sea $(x, y) \in \mathbb R^2$ . Por supuesto, los cuatro elementos $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor)$ , $(\lfloor x \rfloor + 2, \lfloor y \rfloor)$ et $(\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor + 2)$ están contenidas en $\mathbb Q^2$ (y por tanto en $Q$ ). Dado que $0 \le x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor < 2$ si elegimos $\lambda_1 := \frac{x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor}{2}$ entonces $\lambda_1 \in [0, 1]$ . Además,
$$ \begin{align} \lambda_1 (\lfloor x \rfloor + 2, \lfloor y \rfloor) + (1 - \lambda_1) (\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor) & = (x + y - \lfloor y \rfloor, \lfloor y \rfloor) \\ \lambda_1 (\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor + 2) + (1 - \lambda_1) (\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor) & = (\lfloor x \rfloor, y + x - \lfloor x \rfloor) \\ \end{align} $$
Ahora ambos $\lfloor x \rfloor = x$ et $\lfloor y \rfloor = y$ y por lo tanto $(x, y) \in \mathbb Q^2 \subseteq Q$ , o ahora elegimos $\lambda_2 := \frac{x - \lfloor x \rfloor}{x - \lfloor x \rfloor + y - \lfloor y \rfloor}$ . Entonces
$$ \lambda_2 (x + y - \lfloor y \rfloor, \lfloor y \rfloor) + (1 - \lambda_2) (\lfloor x \rfloor, y + x - \lfloor x \rfloor) = (x, y) $$
Como $Q$ se supone que es convexo, todos estos elementos, incluido el último, están en $Q$ . Esto demuestra que $\mathbb R^2 \subseteq Q$ y por lo tanto $\mathbb R^2$ es el casco convexo de $\mathbb Q^2$ . $\Box$
Tercer casco convexo
Demostramos que
$$ A_2 := \{(x, y) \in \mathbb R^2 \big| x, y > 0 \wedge y \le \sqrt{x} \} \cup \{(0, 0)\} $$
es el casco convexo del conjunto que denota $C$ . Es fácil ver que $C \subset A_2$ . Además, $A_2$ es convexo: Sea $(x, y), (z, w) \in A_2$ , $\lambda \in [0, 1]$ . Para $(x, y) = (z, w)$ , claramente $\lambda (x, y) + (1 - \lambda)(z, w) = (x, y) \in A_2$ . De lo contrario, $\lambda x + (1 - \lambda) z > 0$ et $0 < \lambda y + (1 - \lambda) w \le \lambda \sqrt{y} + (1 - \lambda) \sqrt{w} \le \sqrt{\lambda y + (1 - \lambda) w}$ donde en el último $\le$ usamos eso $x \mapsto \sqrt{x}$ es una función cóncava. Por lo tanto, $\lambda (x, y) + (1 - \lambda)(z, w) \in A_2$ .
Tercero, dejemos ahora $Q$ sea cualquier conjunto convexo tal que $C \subset Q$ . Demostramos que $A_2 \subseteq Q$ . Sea $(x, y) \in A_2$ sea arbitraria. La primera posibilidad es $(x, y) = (0, 0)$ . En este caso, $(x, y) \in C \subset Q$ y por lo tanto $(x, y) \in Q$ . La segunda posibilidad es $(x, y) \neq (0, 0)$ . En este caso, el punto $\left( \frac{x^2}{y^2}, \frac{x}{y} \right)$ está bien definida y contenida en $C$ . Además, por supuesto, $(0, 0) \in C$ . Desde $Q$ contiene $C$ Por supuesto, también $(0, 0), \left( \frac{x^2}{y^2}, \frac{x}{y} \right) \in Q$ . Ahora elegimos $\lambda := \frac{y^2}{x}$ y observe que, dado que $(x, y) \in A_2$ , $\lambda \in [0, 1]$ . Entonces $\lambda \left( \frac{x^2}{y^2}, \frac{x}{y} \right) + (1 - \lambda) (0, 0) = (x, y) \in Q$ debido a la convexidad de $Q$ . Así, $A_2 \subseteq Q$ et $A_2$ es el casco convexo de $C$ . $\Box$
Receta general
- Intenta visualizar el casco convexo en tu ojo interior y adivínalo.
- Demuestra que tu conjetura contiene el conjunto del que querías encontrar el casco convexo.
- Demuestra que tu conjetura es convexa.
- Demuestre que cualquier conjunto convexo que contenga el conjunto incluirá su conjetura (aquí encontrará cualquier imprecisión que contenga su conjetura).
