Mientras buscaba duplicados a una pregunta formulada recientemente, me topé con esta respuesta específica:
Demuestra que $\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac p{1-x^p}-\frac q{1-x^q}\right)=\frac {p-q}2$
Reproduzco aquí el boceto:
$$L=\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac p{1-x^p}-\frac q{1-x^q}\right)=\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac p{1-(\frac 1x)^p}-\frac q{1-(\frac 1x)^q}\right)=\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac {-px^p}{1-x^p}-\frac {-qx^q}{1-x^q}\right)$$
Así que sumando el primer y el tercer término obtenemos $2L=p-q$ .
Lo que me molesta es que parece una respuesta que podríamos poner en el "malas matemáticas que se salen con la suya" hilo...
Es cierto que $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}f(\frac 1x)$ cuando el límite existe, sin embargo aquí, creo que es parte del problema demostrar que este límite realmente existe.
Si lo miramos con más detenimiento, lo tenemos:
- $f_p(x)=\dfrac{p}{1-x^p}=\frac 1{1-x}+\frac{n-1}2+O(1-x)$
- $f_p(\frac 1x)=\dfrac{p}{1-(\frac 1x)^p}=-\frac 1{1-x}+\frac{n+1}2+O(1-x)$
Así que si aplicáramos el mismo proceso a $\ell_p=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{p}{1-x^p}$ obtendríamos $2\ell_p=p\iff \ell_p=\frac p2$ lo cual es erróneo ya que $1$ es un polo aquí (el límite no existe).
Pero la solución propuesta en la respuesta citada nos hace pensar que hemos obtenido el resultado de $\ell_p-\ell _q=\frac p2-\frac q2=\frac{p-q}2$
Mientras que en realidad lo obtenemos de la cancelación de las partes divergentes en:
$\require{cancel}f_p(x)-f_q(x)=\left(\cancel{\frac 1{1-x}}+\frac 12(p-1)+O(1-x)\right)-\left(\cancel{\frac 1{1-x}}+\frac 12(q-1)+O(1-x)\right)=\frac{(p-\cancel{1})-(q-\cancel{1})}2+O(1-x)\to \frac{p-q}2$
¿Cuál es su opinión sobre esta respuesta, está de acuerdo con mi punto de vista?
¿Cómo convencerías a un estudiante que hace esto, de que su método es defectuoso, o al menos de que debería demostrar primero que el límite existe antes de llevar el $\lim$ operador de la igualdad a la igualdad como este (que BTW parece ser un hábito muy común entre los carteles ...).
