¿Pueden los tercios del suelo y del techo sumar más que un entero?

Question

Estoy trabajando en un diseño web que necesita dividir un área en tres columnas, pero hacerlo utilizando valores de píxeles enteros (debido a los problemas de representación de subpíxeles en algunos dispositivos móviles). Para este propósito he decidido ir con el siguiente enfoque:

• Las dos primeras columnas están redondeadas hacia abajo (flojo)
• La última columna se redondea (ceil)

¿Existe algún valor numérico para el que el uso de este método pueda romper el diseño? Es decir, ¿hay algún número entero $x$ que satisfaga la siguiente condición?

$$ \left \lfloor \frac{x}{3} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{x}{3} \right \rfloor + \left \lceil \frac{x}{3} \right \rceil > x\\ x\in \mathbb{Z} $$

¿Cómo abordaría yo la refutación de la existencia de dicho valor?

Answer 1

La respuesta es no:

• $x\equiv0\pmod3\implies\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lceil\frac{x}{3}\right\rceil=\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}=\frac{3x}{3}=x$

• $x\equiv1\pmod3\implies\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lceil\frac{x}{3}\right\rceil=\frac{x-1}{3}+\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{3}=\frac{3x-2+2}{3}=x$

• $x\equiv2\pmod3\implies\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lceil\frac{x}{3}\right\rceil=\frac{x-2}{3}+\frac{x-2}{3}+\frac{x+1}{3}=\frac{3x-4+2}{3}<x$

Answer 2

No, no hay soluciones enteras para lo que has planteado.

Caso nº 1: $x$ es un múltiplo de $3$ .

Entonces tenemos $x = 3l$ donde $l$ es un número entero, por lo que el resultado es trivial $x$ en ambos lados de la desigualdad.

Caso #2: $x$ es congruente con $1$ mod $3$ .

Entonces tenemos $x = 3l + 1$ .

Así, el suelo y el techo de $\frac{3l + 1}{3}$ es el suelo y el techo de $l + \frac{1}{3}$ . El techo es $l+1$ el suelo es $l$ .

Así, tenemos $l + l + l + 1$ o $3l + 1 = x$

De nuevo, el resultado es $x$ en ambos lados de la igualdad.

Te dejaré el último caso.

Answer 3

Para cualquier número real $y$ , escriba

• $\lfloor y \rceil = y - \lfloor y \rfloor$ , de tal manera que $y = \lfloor y \rfloor + \lfloor y \rceil$ y
• $\lceil y \rfloor = y - \lceil y \rceil$ , de tal manera que $y = \lceil y \rceil + \lceil y \rfloor$ .

Entonces, para cualquier $x ∈ ℤ$ verifique que $\lfloor x/3 \rceil + \lfloor x/3 \rceil + \lceil x/3 \rfloor ≥ 0$ por diferenciación de casos.¹ Entonces

\begin{align} x &= x/3 + x/3 + x/3 \\ &= \lfloor x/3 \rfloor + \lfloor x/3 \rfloor + \lceil x/3 \rceil\\ &+ \lfloor x/3\rceil + \lfloor x/3 \rceil + \lceil x/3 \rfloor. \end{align}

¹: O bien es $0 + 0 + 0$ ou $1/3 + 1/3 - 2/3$ ou $2/3 + 2/3 - 1/3$ .