¿Qué función debo utilizar para obtener una parábola-sigmoide de máximo $n$ , $0 \le n \le 1$ con la entrada de $0$ a $1$

Question

Podría ser una simple pregunta pero no encuentro la respuesta.

Tengo una entrada que es un valor decimal entre $0$ et $1$ . Necesito encontrar una función, una especie de sigmoide parabólico, que devuelva $1$ al máximo, $n$ entre $0$ et $1$ y tienden progresivamente a $0$ cuando la entrada tiende a $0$ ou $1$ .

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Podrías hacerlo con un cúbico $f(x) = ax^3 +bx^2 + cx$ . Esa función es $0$ en $0$ .

Desde $f(1) = 0$ , $$ a + b + c = 0 . $$

Desde $f(n) = 1$ , $$ an^3 + bn^2 + cn= 1 . $$

Desde $n$ es el máximo la derivada es $0$ allí tan $$ 3an^2 + 2bn + c = 0 . $$

Desde $n$ es conocida, tienes tres ecuaciones lineales para resolver los tres coeficientes.

Advertencia: compruebe que la función es positiva en el intervalo de la unidad - podría no serlo.

Otra idea es empezar con la parábola $$ x^2 - x $$ y luego encontrar una función $g$ mapeo del intervalo unitario a sí mismo que distorsiona los valores en el $x$ -eje para mover el máximo en $1/2$ a $n$ donde quieras. Su respuesta sería $$ f(x) = g(x)^2 1 g(x). $$

PS. " sigmoide "no es la forma que buscas.

Answer 2

Después de algunas investigaciones, encontré la función que quería. Se trata de una función de densidad de probabilidad que resuelve exactamente mi problema.

$\displaystyle f(x, \mu, s) = \frac{ { 1 } }{s(e ^ \frac{ { x - \mu } } {{2s} } + e ^ \frac{ { -x - \mu } } {{2s} })^2}$

(La función también puede verse aquí )