Ejemplos de pruebas ${}^n$ declaraciones indemostrables

Question

Dada cualquier declaración $A$ y una teoría clásica $T$ que suponemos es al menos tan fuerte como la Aritmética de Peano ( $\sf PA$ ), tenemos que $T\vdash A$ implica $T\vdash T\vdash A$ (es decir, si una afirmación es demostrable, entonces es demostrable). Sea $T_1=T$ et $T_{n+1}=T_n+{\sf Con}(T_n)$ . (Necesitamos teorías más sólidas si queremos demostrar la improbabilidad.) Dado esto, simplemente considerando los valores de verdad de los enunciados relevantes, obtenemos la siguiente clasificación de enunciados por improbabilidad:

1. $T\vdash A$ ( $A$ es demostrable)
2. $T_2\vdash T\not\vdash A$ ( $A$ es indemostrable)
3. $T_3\vdash T_2\not\vdash T\not\vdash A$ ( $A$ es demostrablemente indemostrable)

    ...

    $\omega$ . Para todos los $n$ , $T_n\not\vdash\dots \not\vdash T_2\not\vdash T\not\vdash A$ (no podemos decir nada sobre $A$ (la probabilidad de la misma)

Podemos afinar esta jerarquía considerando también la situación de $\lnot A$ . Llamemos a una clase $m,n$ declaración uno tal que $A$ está en el nivel $m$ arriba y $\lnot A$ es el nivel $n$ en la lista. Desde $T\vdash\lnot A$ implica $T_2\vdash T\not\vdash A$ las únicas clases no vacías en el nivel $1$ son la clase $1,2$ (afirmaciones demostrables) y la clase $2,1$ afirmaciones (afirmaciones refutables). Los enunciados independientes están en la clase $2,2$ . La clase $1,1$ es no vacía si la teoría es inconsistente.

Mi pregunta es: ¿Existen enunciados (preferentemente "naturales") que se sitúen en esta jerarquía? Conozco muchos ejemplos de enunciados independientes, como la hipótesis del continuo o el axioma de elección relativo a $\sf ZF$ o el teorema de París-Harrington relativo a $\sf PA$ . Pero no conozco ejemplos de ninguna clase $2,3$ declaraciones. Supongo que también puede haber ejemplos naturales de $\omega,\omega$ declaraciones. Mi opinión es que todas las clases $m,n$ con $m,n\ne1$ son no vacíos, pero los ejemplos se me escapan.

Answer 1

[Esta es una respuesta parcial, pero decidí publicarla de todos modos ya que nadie más ha respondido desde hace mucho tiempo. Por cierto, una pregunta muy interesante].

Tenga en cuenta que si $T = PA + \neg Con(PA)$ entonces $T \vdash \neg Con(T)$ y por lo tanto $T_2$ es inconsistente y lo demuestra todo, por lo que su jerarquía se derrumba. Así que no es suficiente con asumir que $T$ contiene $PA$ . Creo que se necesita la condición mucho más fuerte de asumir que $T$ es aritméticamente sólida, es decir, que todo enunciado aritmético que $T$ demuestra que es cierto para $\mathbb{N}$ . Esto ocurriría si, por ejemplo $T$ tiene un $ω$ -modelo, es decir, que existe un modelo de $T$ donde la parte aritmética es $\def\nn{\mathbb{N}}$$ \N - La vida de los niños en la escuela. $. If the language of $ T $ is the language of arithmetic (with no extra symbols), then these two notions are equivalent and just mean that $ \N - La vida de los niños en la escuela. $ satisfies $ T$, pero en general la solidez aritmética es más débil.

Así que a partir de ahora asumiremos que $T$ tiene una validez de prueba decidible y es aritméticamente sólida. Nótese que por inducción $T_n$ es aritméticamente sólida para cada $n \in \nn$ .

Dejemos que $D(n)$ denotan la clase de oraciones en el nivel $n$ en su jerarquía, y que $D(m,n)$ denote su clase $m,n$ . Y que $D^*(k,l) = \bigcup \{ D(m,n) : k \le m \le ω \land l \le n \le ω \}$ .

En primer lugar, su afirmación de que las frases independientes están en $D(2,2)$ no es correcto, porque todo lo que sabes es que está en $D^*(2,2)$ ya que la propia definición de independencia equivale a estar en $D^*(2,2)$ . Obsérvese que toda nuestra discusión se desarrolla en algún metasistema, que normalmente se toma como ZFC. La cuestión de si una sentencia sobre $T$ es independiente sobre $T$ tiene un valor de verdad fijo en el metasistema. Incluso si nosotros no puede demostrar la independencia de una frase, no cambia la clase en la que se encuentra.

Alguna frase más $T$ está en $D^*(2,3)$ .

Reclamación : $Con(T_2) \notin D(1)$ . Prueba : Si $T_1 \vdash Con(T_2)$ entonces $T_1 \vdash Con(T_1)$ , lo que da una contradicción.

Reclamación : $( \neg Con(T_2) ) \notin D(1)$ . Prueba : Si $T_1 \vdash \neg Con(T_2)$ entonces $T_1 \vdash ( T_1+Con(T_1) \vdash \bot )$ y por lo tanto $T_1 \vdash ( T_1 \vdash \neg Con(T_1) )$ pero por solidez aritmética esto implica $T_1 \vdash \neg Con(T_1)$ , lo que da una contradicción.

Reclamación : $( \neg Con(T_2) ) \notin D(2)$ . Prueba : Si $T_2 \vdash ( T_1 \nvdash \neg Con(T_2) )$ entonces $T_2 \vdash Con( T_1 + Con(T_2) )$ y por lo tanto $T_2 \vdash Con(T_2)$ , lo que da una contradicción.

Reclamación : $Con(T_2) \in D(2)$ . Prueba : $T_2 \vdash ( T_1 \nvdash Con(T_1) )$ y por lo tanto $T_2 \vdash ( T_1 \nvdash Con(T_2) )$ .

Conjetura : $( \neg Con(T_2) ) \in D(3)$ .

Por lo tanto, $Con(T_2) \in D^*(2,3)$ y creo que está en $D(2,3)$ .

También creo que hay alguna frase $φ$ en $T$ que está en $D^*(ω,ω)$ pero no veo por qué.